¿Por qué las matrices de dispersión son unitarias?

$S^{-1}=S^*$es sólo la condición para la unitaridad. Generalmente se escribe como$S^*S=1$(junto con la invertibilidad) y significa que$\psi^*\psi$no cambia cuando$\psi$es reemplazado por$S\psi$:

$(S\psi)^*(S\psi)=\psi^*S^*S\psi=\psi^*\psi$

Por lo tanto, la probabilidad se conserva, algo imprescindible para una buena matriz de dispersión.

En general, la unitaridad de la matriz S es consecuencia del hecho de que la matriz S se define formalmente como un límite de productos de matrices unitarias, que son a su vez unitarias, aunque el análisis del límite requiere cierto cuidado.

En realidad, noté que podría haber perdido el punto de su pregunta, ya que preguntó qué hace el adjunto en su cálculo. El delta de un operador autoadjunto es en sí mismo autoadjunto, ¿quiso decir eso? De lo contrario, aclare su pregunta.

Muy a menudo, el$S$-matriz se define como un operador entre los espacios de Hilbert inicial y final asintóticos para un proceso de dispersión dependiente del tiempo , es decir, entre$t\to-\infty$y$t\to\infty$. Allí la unitaridad codifica la conservación de las probabilidades a lo largo del tiempo. Por otro lado, el libro que menciona OP, Ref. 1, habla de un proceso de dispersión independiente del tiempo . Para ver una discusión sobre la conexión entre la dispersión dependiente del tiempo y la independiente del tiempo, consulte esta pregunta de Phys.SE.

En esta respuesta solo consideraremos la dispersión independiente del tiempo. Árbitro. 1 define para un sistema 1D (dividido en tres regiones$I$,$II$, y$III$, con un potencial localizado$V(x)$en la región media$II$), a$2\times 2$matriz de dispersión$S(k)$como una matriz que dice cómo dos ondas asintóticas entrantes (de izquierda y derecha) (de número de onda$\mp k$con$k>0$) están relacionados con dos ondas salientes asintóticas (hacia la izquierda y hacia la derecha). En fórmulas,

$$\begin{align}\left. \psi(x) \right|_{I}~=~& \underbrace{A(k)e^{ikx}}_{\text{incoming right-mover}} + \underbrace{B(k)e^{-ikx}}_{\text{outgoing left-mover}}, \tag{1} \cr \left. \psi(x)\right|_{III}~=~& \underbrace{F(k)e^{ikx}}_{\text{outgoing right-mover}} + \underbrace{G(k)e^{-ikx}}_{\text{incoming left-mover}}, \tag{2}\cr k~>~&0,\end{align}$$

$$\begin{pmatrix} B(k) \\ F(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{3}$$

Demostrar que una matriz de dimensión finita$S(k)$es unitario , basta demostrar que$S(k)$es una isometría ,

$$\begin{align} S(k)^{\dagger}S(k)~\stackrel{?}{=}~&{\bf 1}_{2\times 2} \cr\quad\Updownarrow~&\quad\cr |A(k)|^2+ |G(k)|^2~\stackrel{?}{=}~&|B(k)|^2+ |F(k)|^2,\end{align}\tag{4}$$

o equivalente,

$$|A(k)|^2-|B(k)|^2 ~\stackrel{?}{=}~|F(k)|^2-|G(k)|^2.\tag{5}$$

La ecuación (5) se puede justificar con los siguientes comentarios y razonamientos.

1. $\psi(x)$es una solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ( TISE )

   $$\begin{align} \hat{H} \psi(x) ~=~& E \psi(x), \cr \hat{H}~:=~&\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\cr \hat{p}~:=~&\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\end{align}\tag{6}$$ para la energía positiva$E>0$.

2. El espacio de solución para la ecuación de Schrödinger.$(6)$, que es una EDO lineal de segundo orden, es un espacio vectorial bidimensional.

3. Se sigue de la ec.$(6)$que los números de onda$\pm k$,

   $$k ~:=~\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} ~\geq~ 0,\tag{7}$$ debe ser el mismo en las dos regiones asintóticas$I$y$III$. Esto implicará que el$M$-matriz (que se definirá a continuación) y la$S$-las matrices son diagonales en$k$-espacio.

4. Además, se sigue que existe una aplicación lineal biyectiva

   $$\begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix} ~\mapsto~ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{8}$$ en ref. 2, la matriz de transferencia $M(k)$se define como la matriz correspondiente $$\begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix}.\tag9$$ El$S$-matriz$(3)$es un reordenamiento de la ec.$(9)$.

5. Se puede utilizar la ecuación de Schrödinger.$(6)$(y la realidad de$E$y$V(x)$) para demostrar que el wronskiano

   $$W(\psi,\psi^{\ast})(x)~=~\psi(x)\psi^{\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast},\tag{10}$$ o equivalentemente la corriente de probabilidad $$J(x)~=~\frac{i\hbar}{2m} W(\psi,\psi^{\ast})(x),\tag{11}$$ no depende de la posición$x$, $$\begin{align} \frac{\mathrm dW(\psi,\psi^*)(x)}{\mathrm dx} ~=~&\psi(x)\psi^{\prime\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime\prime}(x)\psi(x)^{\ast}\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&0.\end{align}\tag{12}$$ La unitaridad (5) es equivalente al enunciado de que $$\left. W(\psi,\psi^*)\right|_{I}~=~\left. W(\psi,\psi^*) \right|_{III}.\tag{13}$$ Árbitro. 3 menciona que la ec.$(12)$codifica la conservación de la energía en la dispersión.

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Referencias:

1. DJ Griffiths, Introducción a la Mecánica Cuántica; Sección 2.7 en 1ª edición de 1994 y Problema 2.52 en 2ª edición de 1999.

2. DJ Griffiths, Introducción a la Mecánica Cuántica; Problema 2.49 en 1ª edición de 1994 y Problema 2.53 en 2ª edición de 1999.

3. PG Drazin & RS Johnson, Solitons: An Introduction, 2ª edición, 1989; Sección 3.2.