Elementos de matriz de dispersión para potencial q(x)q(x)q(x)

Supongamos que tengo SE con potencial q ( X ) , que se conoce, ¿cómo calculo la dispersión o matriz S con respecto a este potencial?

He intentado buscar ejemplos no triviales (es decir, pasos potenciales constantes/barrera/pozos, etc.), pero en ninguna parte encuentro una secuencia concreta de pasos para hacer un cálculo de los elementos de la matriz de S.

Para ser específicos: supongamos que tengo lo siguiente:

− ψ ″ ( X ) + q ( X ) ψ ( X ) = mi ψ ( X )

con un potencial fijo q ( X ) , y además supongamos que se conocen todas las soluciones del SE anterior. Con la configuración habitual:

ψ L ( X ) = A ( k ) mi i k X + B ( k ) mi − i k X
ψ R ( X ) = C ( k ) mi i k X + D ( k ) mi − i k X

En la literatura se dice que el S matriz relaciona la B , C coeficientes a la A , D coeficientes y da "toda la información sobre la dispersión".

Lo que quiero saber es cómo estos coeficientes, A , B , C , D y el S La matriz depende del potencial y las soluciones del SE dado anteriormente. Es decir, ¿qué necesito para calcular?

No hay una solución de forma cerrada. Tienes que resolver la ecuación de Shroedinger, y no hay una solución general para una EDO de segundo orden.
Supongamos que conozco todas las soluciones, como dije.
Si conoce las soluciones, entonces sabe que una solución que ψ k ( X ) que es de la forma T ( k ) mi i k X a la derecha del potencial parece mi i k X + R ( k ) mi − i k X cuando se evalúa a la izquierda. Aquí el coeficiente de transmisión T ( k ) y coeficiente de reflexión R ( k ) son funciones que encontraste en el proceso de resolver la ecuación. Tal vez, sin embargo, ¿quiere la matriz S en términos de estados de entrada y salida? En ese caso, ayuda si q ( X ) es simétrico de izquierda a derecha, de modo que una onda entrante impar o par solo está desfasada. Agregaré una "respuesta con esta información.

Respuestas (1)

una vez que sepas A ( k ) B ( k ) C ( k ) y D ( k ) entonces la matriz S convierte las ondas entrantes --- A desde la izquierda y D de la derecha--- a las olas salientes B a la izquierda y C a la derecha como

( B C ) = ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) ( A D ) .
Entonces, para encontrar la primera columna, eligió la condición límite A = 1 , D = 0 y leer S 11 , S 21 de tu solución. Del mismo modo la segunda columna.

No entendí cómo la elección del potencial y, por lo tanto, las soluciones afectan la estructura de la matriz de dispersión. Sin embargo, gracias a su respuesta, me di cuenta de que si conozco el potencial y cómo se ven las soluciones a la derecha y a la izquierda, me dan ecuaciones para las relaciones entre A, B, C, D y, por lo tanto, la matriz S es, como mencionas, fácil de construir. Gracias.
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