Pregunta sobre la expresión del índice de Witten

1. La idea detrás de la notación es que el operador$F$se supone que cuenta el número de fermiones en una expresión, es decir

   $$[F,A_n]= n A_n$$ si el operador$A_n$contiene$n$fermiones, lo que eso significa.

2. Entonces

   $$[f(F),A_n]= f(n) A_n$$ para una función suficientemente bien comportada$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$.

3. En particular, para$f(x)=(-1)^x$, uno tiene

   $$[(-1)^F,A_n]= (-1)^n A_n.$$

4. El operador$(-1)^F$tiene valor propio$+1$($-1$) para operadores Grassmann-par (Grassmann-impar), respectivamente.

5. la notación$(-1)^F$se utiliza incluso si el operador$F$en sí mismo no está bien definido.

Esto probablemente esté motivado por la geometría diferencial. En este artículo , Witten y Bar-Natan denotaron el operador$a\rightarrow dx^{i}\wedge a$en formas diferenciales como un fermión$\psi^{i}$. La contracción opuesta se denota como el espinor conjugado canónico$\chi_{j}$. Satisfacen las relaciones canónicas

Dejar$\ast$sea ​​el operador estrella de Hodge, entonces uno encuentra

dónde$(-1)^{F}a\equiv(-1)^{q}a$, para$\forall a\in\Omega^{q}$. Este$(-1)^{F}$El operador en formas diferenciales es exacto el índice de Witten.