¿Cuáles son los parámetros de espinor anticonmutación ζαζα\zeta^\alpha?

No deberían ser considerados como operadores, es decir$q$-números; en cambio, deben ser considerados como$c$-números. Se oponen mutuamente al trabajo, pero por lo demás juegan exactamente el mismo papel que$\Delta x^\mu$para traslaciones o ángulos$\varphi$para rotaciones.

Son variables spinor lo que significa que bajo una transformación de Lorentz$\Lambda\in SO(3,1)$, se transforman en 2-espinores

$$\zeta^{\prime\alpha} = \Lambda^\alpha{}_{\beta} \zeta^\beta$$ dónde $\Lambda^\alpha{}_\beta$es el $SL(2,C)$matriz equivalente a la $SO(3,1)$transformaciones.

las variables$\zeta^\alpha$anticonmutación con todos los demás Grassmann-odd$c$-números, por ejemplo, entre sí,

$$\zeta^\alpha \zeta^\beta = -\zeta^\beta \zeta^\alpha$$ etc. y con todo Grassmann-odd $q$-números (es decir, operadores fermiónicos) pero conmutan con todo lo demás.

Estas variables llevan las unidades de$[\zeta^\alpha]={\rm length}^{1/2}$que se puede decir que es un promedio geométrico de las unidades de rotaciones o transformaciones de Lorentz (que son adimensionales) y las traslaciones (${\rm length}$). Este hecho es obviamente equivalente a decir que los generadores$Q_\alpha$son multiplicados por (y contactados con) tienen las unidades de${\rm mass}^{1/2}$.

Debido a que los números de Grassmann son anticonmutantes, no pueden tomar ningún valor real "ordinario" particular distinto de cero. Pero uno debería imaginar que hay un conjunto de valores "indefinidos" que pueden tomar, y estos valores pueden integrarse a través de las integrales de Grassmann (Berezin).

Ver por ejemplo

http://motls.blogspot.com/2011/11/celebrating-grassmann-numbers.html?m=1

"Celebrando los números de Grassmann" para más detalles y comentarios.