Pregunta sobre la derivación de Weinberg de estados de una partícula bajo el grupo de Poincaré

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Pregunta sobre la derivación de Weinberg de estados de una partícula bajo el grupo de Poincaré

Física
poincaré-simetría
relatividad especial
teoría cuántica de campos
interpretaciones cuánticas

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Estoy leyendo QFT: Vol 1 de Weinberg y tengo una pregunta (quizás trivial) sobre una declaración que hace en la página 63. Puedo seguirlo hasta su derivación de la ecuación (2.5.2):

{PAG}^{m} tu (Λ) | pag, σ ⟩ = Λ^{m}_{ρ} {pag}^{ρ} tu (Λ) | pag, σ ⟩

$\begin{equation} P^\mu U(\Lambda) |p,\sigma \rangle = \Lambda^\mu{}_\rho p^\rho U(\Lambda) |p,\sigma \rangle \end{equation}$ donde esta la etiqueta

σ

$\sigma$ denota todos los demás grados de libertad además del cuatro impulso. Ahora, puedo ver que, a la luz de la ecuación (2.5.1), la ecuación anterior implica:

tu (Λ) | pag, σ ⟩ \propto | Λ pag, σ ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda) |p,\sigma \rangle \propto |\Lambda p,\sigma \rangle \end{equation}$ y entonces escribiría:

tu (Λ) | pag, σ ⟩ = C | Λ pag, σ ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda) |p,\sigma \rangle = C |\Lambda p,\sigma \rangle \end{equation}$ dónde

C

$C$ es la constante de normalización por determinar. Sin embargo, según Weinberg, la ecuación (2.5.2) implica:

tu (Λ) | pag, σ ⟩ = \sum_{σ^{'}} C_{σ^{'} σ} (Λ, pag) | Λ pag, σ^{'} ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda)|p,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'} C_{\sigma' \sigma}(\Lambda,p)|\Lambda p, \sigma'\rangle \end{equation}$ Ahora, no entiendo qué significa exactamente la ecuación anterior. Que hace

σ^{'}

$\sigma'$ representan y por qué estamos sumando sobre él?

Gracias de antemano.

Respuestas (1)

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prahar · Answer 1

Es incorrecto decir que

tu (Λ) | pag, σ ⟩ \propto | Λ pag, σ ⟩ ¡¡EQUIVOCADO!!

$U(\Lambda) \left|p,\sigma\right> \propto |\Lambda p, \sigma\rangle~~~~~~ \text{WRONG!!}$ Aquí está la lógica correcta. Considere el estado

U (Λ) | p, σ ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle$ . Acabamos de mostrar que (en la ecuación 2.5.2) que este estado tiene un valor propio de cantidad de movimiento

Λ p

$\Lambda p$ . Ahora, hay un montón de estados con impulso

Λ p

$\Lambda p$ , a saber

| Λ p, σ^{'} ⟩

$|\Lambda p, \sigma'\rangle$ para todos

σ^{'}

$\sigma'$ . Por tanto, la única conclusión a la que podemos llegar es que

U (Λ) | p, σ ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle$ es una combinación lineal de los estados

| Λ p, σ^{'} ⟩

$|\Lambda p, \sigma'\rangle$ . Matemáticamente,

tu (Λ) | pag, σ ⟩ = \sum_{σ^{'}} C_{σ σ^{'}} (Λ, pag) | Λ pag, σ^{'} ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(\Lambda,p)|\Lambda p, \sigma'\rangle$ para alguna matriz

C

$C$ que posiblemente puede depender de

Λ

$\Lambda$ o

p

$p$ (o ambos)

gracias por su respuesta. Cuando dices "hay un montón de estados con impulso $\Lambda p$ ", ¿te refieres a un montón de estados con exactamente el mismo impulso, pero con diferentes grados de libertad $\sigma'$ (por ejemplo, girar)?

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