Operadores escalares en la teoría cuántica de campos

Bajo una transformación de Lorentz activa, un campo escalar se transforma como,

Supongamos que en$x_0$, el campo tiene el valor$\phi_0$. Ahora giro el campo en algún ángulo, digamos$\pi/2$. Si tuviera que evaluar el campo antiguo en ese punto, me daría un valor que probablemente no sea$\phi_0$. Entonces, para expresar el nuevo campo en términos del campo anterior, necesito tomar el punto y hacer la transformación inversa para que el campo "piense" que está en ese punto anterior. Por otro lado, bajo una transformación pasiva que consiste en relacionar nuestras coordenadas, entonces sería$\Lambda$en vez de$\Lambda^{-1}$.

Un campo/operador escalar es una construcción matemática. Lo "queremos" porque puede usarse para modelar partículas reales. Véase, por ejemplo, Wikipedia , donde las partículas compuestas como el mesón pi o la partícula fundamental bosón de Higgs pueden modelarse mediante un campo escalar.

Dando un paso atrás de QFT, un ejemplo de un campo escalar podría ser algo así como la temperatura de una habitación, que asigna un número (componente único) (temperatura) a cada punto de esa habitación. Esto contrasta con un campo vectorial de componentes múltiples, por ejemplo, la velocidad del aire en cada punto de la misma habitación.

¿Cómo debería transformarse un campo escalar de este tipo bajo la rotación (como una forma especial de una transformada de Lorentz)? Bueno, si tomas la misma habitación y la giras alrededor de un eje, digamos theta grados, en realidad no estás cambiando la temperatura en ningún punto de esa habitación. De hecho, obtendría el mismo efecto si, en cambio, girara las coordenadas por el negativo de theta grados. Por lo tanto

Ahora bien, ¿por qué el campo escalar debería transformarse como tal para las transformaciones de Lorentz y no para cualquier transformación arbitraria? Porque queremos fusionar la mecánica cuántica (que sabemos que es cierta en su régimen) con la relatividad especial (que sabemos que es cierta en su propio régimen) para llegar a una teoría más completa (que es cierta en un régimen más amplio, que también abarca los otros dos regímenes). Ahora, la relatividad especial requiere la invariancia de Lorentz para los campos escalares, porque (utilizando de nuevo el ejemplo de la temperatura) dos observadores que utilizan diferentes coordenadas x y x' deberían estar de acuerdo en la temperatura del mismo punto en la habitación, aunque expresada utilizando dos sistemas de coordenadas diferentes x y