Generadores de Grupos de Poincaré

La idea general.

Restringiremos la discusión a la matriz de Grupos de Lie por simplicidad. Determinación de los generadores de un determinado grupo de Lie$G$simplemente significa (por definición) determinar una base para su álgebra de Lie$\mathfrak g$. Aquí hay un método estándar para encontrar tal base:

1. Recuerde que el álgebra de Lie$\mathfrak g$de un grupo de Lie matricial$G$se define como el conjunto de todas las matrices$X$para cual$e^{s X}$es un elemento de$G$para todos los números reales$s$.

2. Usa las propiedades de los elementos de$G$para restringir los elementos$X$; los elementos admisibles resultantes$X$son precisamente los elementos del álgebra de Lie$\mathfrak g$que es un espacio vectorial de matrices.

3. Determine una base para este espacio vectorial resultante.

Un ejemplo:$\mathrm{SO}(2)$.

Los elementos del grupo de rotación en dos dimensiones son precisamente aquellos$2\times 2$matrices reales$R$para cual

$$\begin{align} R^tR = I, \qquad \det R = 1. \end{align}$$ Ahora, supongamos que $X$es un elemento de su álgebra de mentira $\mathfrak{so}(2)$, después $e^{sX}$es un elemento de $\mathrm{SO}(2)$Lo que significa que $$\begin{align} e^{s X} (e^{sX})^t = I, \qquad \det (e^{sX}) = 1 \end{align}$$ para todos $s\in\mathbb R$. Ahora usamos los hechos que $(e^M)^t = e^{M^t}$y $\det e^M = e^{\mathrm{tr}M}$afirmar que $$\begin{align} e^{s(X + X^t)} = I, \qquad e^{s(\mathrm{tr} X)} = 1 \end{align}$$ lo que implica que $$\begin{align} X = -X^t, \qquad \mathrm{tr} X = 0. \end{align}$$ Así, el álgebra de mentira $\mathfrak{so}(2)$está dado por el conjunto de todos los reales, antisimétricos, sin rastro $2\times 2$matrices. Este es un espacio vectorial unidimensional de matrices cuyo elemento general se puede escribir como un múltiplo escalar de $$\begin{align} J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ que es por tanto el generador que buscábamos.

El grupo de Poincaré.

El mismo procedimiento se puede utilizar para determinar una forma matricial explícita para los generadores del grupo de Poincaré. Dado que, en ese caso, el grupo de Poincaré puede escribirse como un producto semidirecto del grupo de Lorentz$\mathrm{SO}(3,1)$con el grupo de traducción de cuatro dimensiones$\mathbb R^4$, a menudo se encuentran los generadores de Lorentz y los grupos de traducción individualmente por conveniencia.

Al encontrar los generadores del grupo de Lorentz, simplemente necesita usar las propiedades análogas para$RR^t = I$y$\det R = 1$que definen sus elementos. Por ejemplo, en este caso, la propiedad definitoria es que los elementos de$\mathrm{SO}(3,1)$preservar el producto escalar de Minkowski;

$$\begin{align} \Lambda^\mu_{\phantom\mu\alpha} \Lambda^\nu_{\phantom\nu\beta}\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \tag{$\star$} \end{align}$$ dónde $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$. Esto se puede escribir en forma de matriz, y luego el mismo procedimiento usado anteriormente para $\mathrm{SO}(2)$se puede utilizar para encontrar el álgebra de Lie y los generadores.

Cómo se hace en la práctica por los físicos.

Para determinar el álgebra como se describe anteriormente usando la condición de invariancia$(\star)$, los físicos a menudo escribirán un elemento de grupo de Lorentz como

$$\begin{align} \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} = \delta^\mu_\nu + \omega^\mu_{\phantom\mu\nu} \end{align}$$ dónde $\omega = (\omega^\mu_{\phantom\mu\nu})$es una matriz "infinitesimal". Tenga en cuenta que esto es simplemente lo mismo que escribir la matriz exponencial de primer orden en el parámetro $s$en el procedimiento anterior, e identificando el término de primer orden como el elemento del álgebra de Lie. Entonces, uno puede reemplazar esta expresión en la condición de invariancia $(\star)$y determinó qué propiedades $\omega$debe obedecer comparando los términos que son de primer orden en $\omega$. Esto es equivalente al procedimiento descrito anteriormente para $\mathrm{SO}(2)$, pero a menudo es más conveniente desde el punto de vista computacional.

Si realiza este cálculo para el grupo de Lorentz, debería encontrar que

$$\begin{align} \omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu} \end{align}$$ dónde $\omega_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\omega^\alpha_{\phantom\alpha\nu}$.