Representaciones del grupo de Poincaré

Esencialmente por definición (debido a Wigner), los espacios de Hilbert de una partícula de partículas elementales soportan representaciones irreducibles unitarias fuertemente continuas del grupo de Poincaré.

Por el contrario, cualquier espacio de Hilbert de múltiples partículas , con un número fijo o indefinido de partículas idénticas o distinguibles, no puede ser irreducible bajo la acción de la representación asociada del grupo de Poincaré.

Prueba. Una representación multipartícula es el producto tensorial de las representaciones en cada subespacio factorial de una partícula. Si$P_\mu$denota el operador total de cuatro impulsos del sistema de partículas, el operador unitario acotado$e^{i a P_\mu P^\mu}$($a\in \mathbb R$) conmuta con todos los operadores unitarios de las representaciones tensoriales y no es proporcional al operador identidad (como sucede en cambio para un espacio de una partícula). A la vista del lema de Schur la representación no puede ser irreductible.

Un subespacio cerrado invariante es, evidentemente, el subespacio de vectores de estado donde la masa al cuadrado$M^2= P_\mu P^\mu$asume valores (en el sentido de descomposición espectral) dentro de un intervalo fijo$[a,b]$.