Confusión con el libro QFT de Weinberg, volumen 1, capítulo 3: traducción del tiempo e imagen de Heisenberg

Question

Confusión con el libro QFT de Weinberg, volumen 1, capítulo 3: traducción del tiempo e imagen de Heisenberg

Kaio

Lo siento si esta es una pregunta ingenua, pero soy nuevo en QFT. En el tratamiento de la dispersión en la sección 3.1 de La teoría cuántica de campos , vol. 1, Weinberg presentó por primera vez la regla de transformación general para varias partículas que no interactúan bajo la acción de un elemento del grupo de Poincaré. $(\Lambda, a)$ (p.108, ecuación (3.1.1)):

tu (Λ, a) Ψ_{{pag}_{1}, σ_{1}, {norte}_{1}; {pag}_{2}, σ_{2}, {norte}_{2}; \dots} = Exp (- i a_{m} ((Λ {pag}_{1})^{m} + (Λ {pag}_{2})^{m} + \dots)) \times \sqrt{\frac{(Λ {pag}_{1})^{0} (Λ {pag}_{2})^{0} \dots}{{pag}_{1}^{0} {pag}_{2}^{0} \dots}} \sum_{σ_{1}^{'} σ_{2}^{'} \dots} D_{σ_{1}^{'} σ_{1}}^{(j_{1})} (W (Λ, {pag}_{1})) D_{σ_{2}^{'} σ_{2}}^{(j_{2})} (W (Λ, {pag}_{2})) \dots \times Ψ_{Λ {pag}_{1}, σ_{1}^{'}, {norte}_{1}; Λ {pag}_{2}, σ_{2}^{'}, {norte}_{2}; \dots} .

$U(\Lambda, a)\Psi_{p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots} =\exp\left( -ia_\mu((\Lambda p_1)^\mu + (\Lambda p_2)^\mu+\cdots) \right) \times\sqrt{\displaystyle{\frac{(\Lambda p_1)^0(\Lambda p_2)^0\cdots}{p_1^0p_2^0\cdots}}}\sum_{\sigma'_1~\sigma'_2~\cdots} D_{\sigma'_1~\sigma_1}^{(j_1)}\left( W(\Lambda,p_1) \right) D_{\sigma'_2~\sigma_2}^{(j_2)}\left( W(\Lambda,p_2) \right) \cdots \times \Psi_{\Lambda p_1,~\sigma'_1,~n_1;~\Lambda p_2,~\sigma'_2,~n_2;~\cdots}.$ Aquí

Λ

$\Lambda$ es una transformación de Lorentz homogénea arbitraria y

a

$a$ es una traslación espacio-temporal aplicada después

Λ

$\Lambda$ . Las etiquetas

p_{1}, σ_{1}, n_{1}; p_{2}, σ_{2}, n_{2}; \dots

$p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots$ representan los estados de las partículas, con la primera partícula teniendo momento

p_{1}

$p_1$ , girar

σ_{1}

$\sigma_1$ , cargar

n_{1}

$n_1$ etcétera. el

D

$D$ 's son matrices de rotación de Wigner que no son directamente relevantes para la presente pregunta.

Confío bastante en comprender esta ecuación, ya que se deriva directamente del capítulo anterior. Sin embargo, me confundo cuando Weinberg dice que $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ si establecemos $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ y $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ (el cuarto componente es el tiempo). Según tengo entendido, $H$ en este capítulo ya no denota el hamiltoniano de partículas libres como en el capítulo 2, sino el hamiltoniano 'total' con interacción incluida. Esto se ve más evidentemente a partir de su ecuación (3.1.8). Por lo tanto, el reclamo $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ es simplemente una afirmación de que hamiltoniano genera evolución en el tiempo, que se deriva de, bueno, la ecuación de Schroedinger. (La falta del signo menos en el exponencial se debe a la visión 'pasiva' que estamos adoptando). Pero realmente dudo que esta sea la comprensión correcta, ya que Weinberg no ha hecho mención explícita de la ecuación de Schroedinger, o la evolución del tiempo de ningún tipo. hasta este punto del libro.

Lo que me confundió aún más es su declaración en el párrafo central de la página 109:

Para mantener la invariancia manifiesta de Lorentz, en el formalismo que estamos usando aquí, los vectores de estado no cambian con el tiempo --- un vector de estado $\Psi$ describe toda la historia del espacio-tiempo de un sistema de partículas. (Esto se conoce como el cuadro de Heisenberg ...)

Ahora, en la imagen de Heisenberg, la evolución del tiempo la llevan a cabo los operadores en lugar del vector de estado. Entonces, ¿cómo es que la evolución del tiempo por $\tau$ resultará en $\exp(iH\tau)$ siendo actuado sobre el vector de estado? Además, no puedo entender el punto de usar la imagen de Heisenberg para mantener la invariancia manifiesta de Lorentz.

En resumen, estas son mis preguntas principales:

(1) ¿La declaración 'si establecemos $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ y $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ , entonces $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ ¿Implica una aplicación implícita de la ecuación de Schroedinger, o alguna ecuación de evolución temporal de tipo similar?

(2) ¿Cómo el hecho de que estemos usando la imagen de Heisenberg cumple con el vector de cambio de estado bajo esta elección especial de $U(\Lambda, a)$ ?

(3) ¿Por qué la aplicación de la imagen de Heisenberg nos permite ver la invariancia manifiesta de Lorentz? ¿Cómo puedo verlo?

Realmente agradecería si alguien pudiera ofrecerme algunos consejos o información, o simplemente señalar dónde me he equivocado.

Respuestas (2)

Confusión con el libro QFT de Weinberg, volumen 1, capítulo 3: traducción del tiempo e imagen de Heisenberg

higgsss · Answer 1

(1) El operador $U(\Lambda,a)$ es una "rotación" unitaria en el espacio de Hilbert correspondiente a una transformación de Lorentz no homogénea de las coordenadas del espacio-tiempo. Cuando $U(\Lambda,a)=\exp(iH\tau)$ , es un operador que adelanta el reloj $\tau$ . Conceptualmente, esto no es una evolución temporal física del sistema.

(2) Una rotación unitaria $U$ en el espacio de Hilbert transforma tanto operadores como estados, por la misma razón que una rotación en $\mathbb{R}^{3}$ transforma vectores así como matrices actuando sobre vectores. Es decir, tenemos $\hat{O}\Psi$ $\rightarrow$ $\hat{O}^{\prime}\Psi^{\prime}$ , dónde $\hat{O}^{\prime} = U\hat{O}U^{-1}$ y $\Psi^{\prime} = U\Psi$ . Esto es cierto tanto en las imágenes de Heisenberg como en las de Schrödinger.

(3) Alguien más puede tener una mejor respuesta, pero en lo que respecta a la teoría de la dispersión en sí, no veo una ventaja de la imagen de Heisenberg sobre la imagen de Schödinger. Sin embargo, una vez que sabemos que estamos trabajando con una teoría cuántica de campos, es más natural usar la imagen de Heisenberg porque trata el espacio y el tiempo en pie de igualdad. Es decir, en esta imagen, los operadores de campo cuánticos son funciones del espacio-tiempo mientras que los estados no tienen ninguna dependencia del espacio-tiempo. Por otro lado, en la imagen de Schödinger, los campos cuánticos dependen solo de las coordenadas espaciales, mientras que los estados dependen solo del tiempo.

¡Gracias! Su respuesta me hace darme cuenta de que he estado confundiendo la traducción del tiempo con la evolución del tiempo. La traducción del tiempo significa simplemente ajustar el reloj del observador en el punto de vista "pasivo", o reorganizar nuestros experimentos para que todo suceda en un tiempo posterior en el punto de vista "activo", donde la evolución del tiempo está vinculada a la dinámica. Dado que la traducción del tiempo no es diferente de la rotación o la traducción espacial, se permite modificar los estados de imagen de Heisenberg, así como los operadores.
Parece que está en el camino correcto, pero el generador de la traducción del tiempo no será el hamiltoniano de partículas libres, es decir, $H_0 = (p^0)_1 + (p^0)_2 + \cdots$ dónde $(p^0)_i$ es el componente de tiempo de la $i$ -th operador de momento de la partícula, en lugar de $H$ , el hamiltoniano "completo" con interacción incluida?
El generador de traslación del tiempo es el hamiltoniano completo. $H$ . Aunque la interacción se incluye aquí, $E = p_{1}^{0} + p_{2}^{0} + \cdots$ porque consideramos estados de entrada y salida, que no interactúan en el límite $t \to \mp \infty$ . Más precisamente, un paquete de ondas construido a partir de estados de entrada y salida constará de partículas que están infinitamente alejadas unas de otras en $t \to -\infty$ ( $+\infty$ ).

Nombre AAAA · Answer 2

Solo un comentario a la respuesta higgsss.

Formalmente del teorema de Wigner tenemos que si existe una simetría de cambio de tiempo, para la cual se conserva el producto escalar de los rayos de la mecánica cuántica,

\begin{matrix} (1) & | ⟨ ψ (t) | k (t) ⟩ | = | ⟨ ψ^{'} (t + τ) | k^{'} (t + τ) ⟩ |, \end{matrix}

$\tag 1 |\langle \psi (t)|\kappa (t)\rangle| = |\langle \psi{'}(t+\tau)| \kappa{'}(t+\tau) \rangle|,$ entonces la transformación de simetría actúa sobre

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ como el operador unitario lineal (o antiunitario antilineal, que no se realiza para la simetría de cambio de tiempo),

tu = {mi}^{i \hat{H} t}

$U = e^{i\hat{H}t}$

\hat{H}

$\hat{H}$ tiene el sentido formal del generador de traducción del tiempo, y el sentido físico de la energía del sistema. El enunciado del teorema no depende de los detalles del sistema (es decir, puede ser el conjunto de estados libres de una partícula que no interactúan, o tal sistema que interactúa), excepto la propiedad

(1)

$(1)$ .

La interpretación de la traducción del tiempo puede ser activa o pasiva. Desde el punto de vista pasivo, hay muchos observadores, que están relacionados entre sí por la transformación de simetría y describen el mismo sistema. Aquí no vemos nada más que la transformación de simetría, no la evolución.

Sin embargo, desde un punto de vista activo, hay un solo observador, pero el sistema mismo sufre la transformación de simetría temporal (es decir, cambia en el tiempo). En otras palabras, debido al punto de vista activo, transformado por el estado de transformación de simetría.

| ψ^{'} ⟩ \equiv | ψ (t) ⟩

$|\psi{'}\rangle \equiv |\psi(t)\rangle$ es el estado que apareció del estado

| ψ ⟩ = | ψ (0) ⟩

$|\psi\rangle = |\psi (0)\rangle$ Por el teorema de Wigner y el punto de vista activo tenemos que

| ψ (t) ⟩ = {mi}^{- i H t} | ψ (0) ⟩,

$|\psi (t)\rangle = e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,$ es decir, la ecuación de Schrödinger.

Confusión con el libro QFT de Weinberg, volumen 1, capítulo 3: traducción del tiempo e imagen de Heisenberg

Kaio

Respuestas (2)

higgsss

Kaio

Kaio

higgsss

Nombre AAAA

Weinberg QFT 1 Normalización uno 1 estados de partículas p. 66

¿Qué significa la raíz cuadrada de Laplaciano?

Simulación QFT simple: cómo hacerlo

¿Por qué las funciones de correlación solo se definen como ordenadas en el tiempo?

Pregunta sobre la derivación de Weinberg de estados de una partícula bajo el grupo de Poincaré

¿La correspondencia operador-estado es un axioma o un teorema?

Producto interno de Klein-Gordon

Generadores de Grupos de Poincaré

¿En qué sentido es la integral de trayectoria una formulación independiente de la Mecánica Cuántica/Teoría de Campo?

¿Los operadores de escalera aaa y a†a†a^\dagger forman una base de álgebra completa?