¿Por qué decimos que la representación irreducible del grupo de Poincaré representa el estado de una partícula?

Primero, tenga en cuenta que en física, consideramos representaciones unitarias$U$del grupo de Poincaré actuando sobre el espacio de Hilbert$\mathcal H$de la teoría porque estamos interesados ​​en una formulación precisa del concepto de transformaciones de Poincaré que actúan sobre los estados mecánicos cuánticos de la teoría como simetrías (dado que las leyes de la física deberían ser inerciales invariantes); y por el teorema de Wigner, elegimos que estas simetrías sean realizadas por operadores unitarios. Estas observaciones están relacionadas con el n.° 1 y el n.° 3 y creo que deberían mantenerse conceptualmente distintas de la noción de un estado que representa el estado de una sola partícula.

En segundo lugar, dado que se supone que tales teorías cuánticas de campos permiten la aparición de estados de partículas y, en particular, deben dar cuenta de los estados en los que hay una sola partícula elemental, esperamos que haya algún subconjunto$\mathcal H_1$del espacio de Hilbert de la teoría correspondiente a estados "que contienen" una sola partícula elemental.

Dadas estas observaciones, reformulemos su pregunta de la siguiente manera:

¿Qué propiedades esperamos que tenga la acción de la representación?$U$tendrá cuando su dominio esté restringido al subespacio$\mathcal H_1$?

En particular, nos gustaría justificar la siguiente afirmación

La restricción de la representación unitaria$U$actuando$\mathcal H$al subespacio de una sola partícula$\mathcal H_1$es una representación irreductible del grupo de Poincaré actuando sobre$\mathcal H_1$.

Esto requiere justificar dos cosas:

1. Los mapas de restricción$\mathcal H_1$en sí mismo
2. La restricción es irreductible.

Creo que la justificación de la primera propiedad es bastante intuitiva. Si todo lo que estamos haciendo es aplicar una transformación de Poincare al estado del sistema, es decir, solo estamos cambiando marcos, entonces la cantidad de partículas en el estado no debería cambiar. Sería bastante extraño si, por ejemplo, impulsara o rotara de un marco de inercia a otro y descubriera que de repente hay más partículas en nuestro sistema.

El requisito de irredicibilidad significa que el único subespacio invariante del subespacio de una sola partícula$\mathcal H_1$es el mismo y$\{0\}$. La intuición física aquí es que, dado que estamos considerando un subespacio del espacio de Hilbert en el que hay una sola partícula elemental , esperamos que no haya un subespacio no trivial de$\mathcal H_1$en el que los vectores de este subespacio simplemente se "rotan" entre sí. Si lo hubiera, entonces la partícula no sería "elemental" en el sentido de que el subespacio invariante no trivial representaría los estados de alguna partícula "más elemental". Sin embargo, cuando realmente se trata de eso, no estoy seguro de si hay alguna justificación más fundamental de por qué la restricción de$U$a$\mathcal H_1$es irreductible aparte de las décadas de experiencia que hemos tenido con la física de partículas y la teoría cuántica de campos.

Las representaciones irreductibles del grupo de Poincaré están etiquetadas por la masa$m$y el giro$s$[esto corresponde a las invariantes de Casimir$m^2$y$m^2s(s+1))$, por lo que corresponde naturalmente a$1$-Estados relativistas de partículas.

Los estados correspondientes a una representación$m, s$están etiquetados$|p,\lambda \rangle$, con$p^2=m^2$y$-s \leq \lambda \leq s$, y corresponde aquí también a$1$partícula.

Para estados de múltiples partículas (estados de Fock), tenemos productos tensoriales simétricos o antisimétricos de estos estados, por ejemplo, un$2$-el estado bosónico de la partícula se puede escribir:

Está claro que estas representaciones multipartículas ya no son irreductibles (porque son una suma del producto de representaciones irreductibles).

La unitaridad no influye en esto, afirma Fock, corresponde a una representación unitaria.