¿Cuál es la representación matricial del operador momento (generador de traslaciones) que se utiliza en los conmutadores del Grupo de Poincaré?

Los generadores de refuerzo son

En primer lugar, tenga en cuenta que ha elegido una representación específica de los generadores de álgebra de Lie del grupo de Poincaré, que es una representación de matriz similar a un vector. Hay muchas representaciones en general (más abajo escribiré sobre ellas).

En su pregunta, eligió la representación matricial de los generadores de álgebra de grupos de Poincaré en el espacio pseudo-euclidiano. La transformación de traducción es

$$x_{a}\to x_{a}+b_{a}$$ Tenga en cuenta que no es una transformación lineal en el espacio-tiempo de Minkowski, por lo que no se puede representar en términos de matrices.

Sin embargo, puede hacerse lineal si incrustamos el espacio-tiempo de Minkowski en un espacio-tiempo ficticio de 5 dimensiones con coordenadas adicionales.$x_{5}$. Entonces las transformaciones del grupo de Poincaré ahora están en forma matricial: con$x = x_{\mu}, a = a_{\mu}, \Lambda = \Lambda_{\mu\nu}$tenemos

$$\begin{pmatrix} x{'} \\ x_{5}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x_{5}\end{pmatrix}$$ Ahora puede obtener una representación matricial del operador de traducción. Intenta hacer eso.

En cuanto a la representación diferente, es posible representar generadores en términos de operadores diferenciales. Es decir, para la transformación del grupo

$$x_{\alpha} = f_{\alpha}(a,x)$$ operador diferencial correspondiente $\hat{X}$es $$\hat{X}_{i} = \left(\frac{df^{\alpha}(x, a)}{da_{i}}\right)_{a = 0}\partial_{\alpha}$$ Estos generadores, como puede verse, conservan el álgebra de grupos de Lie. En cuanto a estos operadores, los generadores del grupo Poincaré $J_{\mu\nu},P_{\mu}$son $$\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu},\quad \hat{J}_{\mu\nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})$$ (una edición)

¿Sobre qué objeto actúan, la función de onda?

Estas expresiones se derivan de generadores, que ha obtenido de la definición de transformaciones de grupo de Poincaré de 4 vectores ordinarios. Obtener los generadores para las transformaciones de "función de onda" es una historia completamente diferente.

Brevemente, suponga que tiene el mundo con simetría de Poincaré. En el nivel de la mecánica cuántica esto significa que el módulo del producto escalar$\langle \kappa |\psi\rangle$de estados$|\kappa\rangle |\psi\rangle$del sistema es invariante bajo las transformaciones del grupo de Poincaré$|\psi\rangle \to |\psi'\rangle , \ |\kappa\rangle \to |\kappa'\rangle$:

$$|\langle \psi |\kappa \rangle|^{2} = |\langle \psi{'} |\kappa{'} \rangle|^{2}$$ Por el teorema de Wigner, esto significa que las transformaciones del grupo de Poincaré se realizan de forma lineal y unitaria (para simplificar, aquí omití la discusión sobre el caso antiunitario antilineal): $$|\psi{'}\rangle = U(\Lambda , a)|\psi\rangle$$ $$U(\Lambda , a) = \text{id} + ia^{\mu}\hat{P}_{\mu} + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}\hat{J}_{\mu \nu},$$ dónde $\omega_{\mu \nu}, a_{\mu}$son parámetros de la transformación del grupo de Poincaré, mientras que los operadores hermitenos $\hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\mu \nu}$se denominan generadores de grupos de Poincaré.

Tenga en cuenta que, en general, su forma explícita depende de la representación. En general, para$|\psi \rangle$siendo la representación irreductible del grupo de poincaré,$|\psi\rangle = |p, \sigma\rangle$(con$p$ser impulso y$\sigma$siendo la etiqueta del llamado grupito de$p$), podemos usar la siguiente correspondencia

$$|\psi\rangle \to \hat{a}^{\dagger}_{\sigma} \to \hat{\Psi}_{A},$$ dónde $\hat{a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)$es el operador de creación del estado con impulso dado $p$y proyección de espín (helicidad) $\sigma$, $\hat{\Psi}_{A}$es el campo de creación-destrucción con (en general) índices espinores $A$(puede ser un operador de 4 vectores, un operador de espinor de Dirac, etc.). El número y la estructura de los índices y, por lo tanto, la ley de transformación del campo bajo el grupo de Lorentz, se determinan a partir del valor del espín (helicidad) de la representación. En general, $$\hat{J}_{\mu \nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu}) + \hat{M}_{\mu \nu},$$ dónde $\hat{M}_{\mu \nu} = (M_{\mu \nu})_{A}^{\ B}$es la matriz de generadores de representación de dimensión finita dada del grupo de Lorentz. Esto determina la ley de transformación de la "función de onda" $\hat{\Psi}$(precisamente, la transformación de coeficientes cerca de $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$en la expansión de $\hat{\Psi}$).

El$\hat{P}$es obviamente el operador de momento lineal con$\hbar = 1$, pero cuales son los$\hat{J}$'¿s?

$\hat{P}_{\mu}$se llama operador de 4 momentos, mientras que$\hat{J}_{\mu \nu}$se llama operador de momento angular. La razón de esto es que con frecuencia se pueden obtener a partir de los tensores clásicos de energía-tensión y momento angular (que se obtienen del teorema de Noether) mediante el uso de reglas de correspondencia. En consecuencia,$\hat{J}_{i} = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\hat{J}^{jk}$se llama operador de momento angular, mientras que$\hat{K}^{i} = -\hat{J}^{0i}$se llama operador boost. En límite clásico$\hat{K}^{i}$está asociado con el vector de centro de energía. Esto se puede ver usando operadores diferenciales para la representación de 4 vectores del grupo de Poincaré.