Un grupo de orden p3p3p^3 y su cociente con el centro del grupo

Question

Un grupo de orden p3p3p^3 y su cociente con el centro del grupo

grupos p
Matemáticas
teoría de grupos
grupos abelianos
álgebra abstracta

harry55

Tengo problemas para entender el siguiente ejemplo:

Dejar $p$ ser primo y $G$ un grupo de orden $p^3$ . Entonces tambien $G$ es abeliano o $G/Z(G)$ es abeliano (o ambos). La razón de esto es que el centro de un $p$ el grupo es siempre no trivial. Por lo tanto $G/Z(G)$ tiene orden $1, p$ o $p^2$ y también lo es abeliano.

Entiendo que $G/Z(G)$ tiene orden $1, p$ o $p^2$ pero no entiendo por qué esto significa que es abelian? Por supuesto, si tiene orden uno, es abeliano y esto significa $G$ también es abeliano. También por $p^2$ esto significa que $G/Z(G)$ es abeliano como todos los grupos de orden $p^2$ son abelianos, pero ¿qué nos dice esto acerca de $G$ ? Eso $G$ no es abeliano?

Lo que más me confunde es cómo si $G/Z(G)$ tiene orden $p$ , ¿cómo implica esto que es abeliano? entiendo que si $G/Z(G)$ tiene orden $p$ entonces como es cíclico, $G$ es abeliano... pero esto no implica que todo el cociente sea abeliano, ¿o sí? es porque el orden cíclico del cociente implica $G$ es abeliano y por lo tanto el cociente también lo es? Si es así, esto significa que podemos cambiar la proposición:

"Dejar $G$ ser un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico. Entonces $G$ es abeliano".

a lo siguiente:

"Dejar $G$ ser un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico. Entonces $G$ y $G/Z(G)$ es abeliano".

Tobias Kildetoft

Los grupos cíclicos son abelianos. Además, los cocientes de grupos abelianos son abelianos.

cuasi

No estaba obligado a mostrar

G

$G$ es abeliano. Se requería mostrar ya sea

G

$G$ es abeliano o

G / Z (G)

$G/Z(G)$ es abeliano. Para probar esa disyunción, basta probar

G / Z (G)

$G/Z(G)$ es abeliano.

harry55

@TobiasKildetoft entonces, si los grupos cíclicos son abelianos, ¿eso significa cualquier grupo de orden?

p

$p$ es abeliano?

cuasi

Si

G / Z (G)

$G/Z(G)$ tiene orden

1

$1$ , entonces

G / Z (G)

$G/Z(G)$ es el grupo trivial, por lo tanto es abeliano. Si

G / Z (G)

$G/Z(G)$ tiene orden

p

$p$ , entonces

G / Z (G)

$G/Z(G)$ es cíclico, por lo tanto es abeliano. Si

G / Z (G)

$G/Z(G)$ tiene orden

p^{2}

$p^2$ , entonces dado que todos los grupos de orden

p^{2}

$p^2$ son abelianos,

G / Z (G)

$G/Z(G)$ es abeliano. Hecho.

cuasi

Si si

p

$p$ es primo, cualquier grupo de orden

p

$p$ es cíclico. Para ver eso, tome cualquier elemento del grupo que no sea la identidad. ¿Cuál es el orden de ese elemento?

harry55

Entiendo que cualquier grupo de orden

p

$p$ es cíclico, así que ahora sé que significa cualquier grupo de orden

p

$p$ es abeliano ya que los grupos cíclicos son abelianos pero esto me confunde porque cada finito

p

$p$ ¿El grupo es nilpotente pero solo puedo ver esto como trivial si todos los cocientes de los grupos abelianos son abelianos?

Tobias Kildetoft

Ya mencioné que los cocientes de grupos abelianos son abelianos. Esto es completamente sencillo a partir de las definiciones. Parece que puede beneficiarse enormemente de pasar una semana más o menos haciendo ejercicios sobre los aspectos más básicos de la teoría de grupos antes de sumergirse en

p

$p$ -grupos y grupos nilpotentes, ya que las preguntas aquí, si bien están bien, son las que preferiblemente uno debería haber internalizado por completo antes de profundizar en temas.

Respuestas (2)

Un grupo de orden p3p3p^3 y su cociente con el centro del grupo

Los grupos cíclicos son abelianos. Además, los cocientes de grupos abelianos son abelianos.
No estaba obligado a mostrar $G$ es abeliano. Se requería mostrar ya sea $G$ es abeliano o $G/Z(G)$ es abeliano. Para probar esa disyunción, basta probar $G/Z(G)$ es abeliano.
@TobiasKildetoft entonces, si los grupos cíclicos son abelianos, ¿eso significa cualquier grupo de orden? $p$ es abeliano?
Si $G/Z(G)$ tiene orden $1$ , entonces $G/Z(G)$ es el grupo trivial, por lo tanto es abeliano. Si $G/Z(G)$ tiene orden $p$ , entonces $G/Z(G)$ es cíclico, por lo tanto es abeliano. Si $G/Z(G)$ tiene orden $p^2$ , entonces dado que todos los grupos de orden $p^2$ son abelianos, $G/Z(G)$ es abeliano. Hecho.
Si si $p$ es primo, cualquier grupo de orden $p$ es cíclico. Para ver eso, tome cualquier elemento del grupo que no sea la identidad. ¿Cuál es el orden de ese elemento?
Entiendo que cualquier grupo de orden $p$ es cíclico, así que ahora sé que significa cualquier grupo de orden $p$ es abeliano ya que los grupos cíclicos son abelianos pero esto me confunde porque cada finito $p$ ¿El grupo es nilpotente pero solo puedo ver esto como trivial si todos los cocientes de los grupos abelianos son abelianos?
Ya mencioné que los cocientes de grupos abelianos son abelianos. Esto es completamente sencillo a partir de las definiciones. Parece que puede beneficiarse enormemente de pasar una semana más o menos haciendo ejercicios sobre los aspectos más básicos de la teoría de grupos antes de sumergirse en $p$ -grupos y grupos nilpotentes, ya que las preguntas aquí, si bien están bien, son las que preferiblemente uno debería haber internalizado por completo antes de profundizar en temas.

pollomante · Answer 1

Lo que más me confunde es cómo si $G/Z(G)$ tiene orden $p,$ ¿Cómo implica esto que es abeliano?

Cualquier grupo de orden primo es abeliano. Dejar $P$ ser cualquier grupo de primer orden $p.$ Entonces para todos $x\in P\setminus\{1\},$ $|x|=p,$ ya que si fuera igual a cualquier otro número menor que $p$ , decir $n,$ entonces $\langle x\rangle$ sería un subgrupo de ese orden, y $n$ dividiría por tanto el orden del grupo por el teorema de Lagrange. Sin embargo, esto es imposible ya que $p$ es primo, entonces $n \nmid p.$

entiendo que si $G/Z(G)$ tiene orden $p$ entonces como es cíclico, $G$ es abeliano. pero esto no implica que todo el cociente sea abeliano, ¿verdad?

Lo hace. Desde $G/Z(G)$ es cíclico, entonces sea $\langle \widetilde{a} \rangle =G/Z(G).$ Dejar $a$ ser cualquier representante de la coset $aZ(G)=\widetilde{a}.$ Entonces $G=\bigcup_{g\in G}gZ(G),$ y $ab=ba$ para todos $b\in Z(G),$ y $a$ conmuta con todos los poderes de sí mismo. De este modo $G$ es abeliano.

Si es así, esto significa que podemos cambiar la proposición: Sea $G$ ser un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico. Entonces $G$ y $G/Z(G)$ es abeliano.

Sí, esto es cierto como un teorema más general: https://proofwiki.org/wiki/Quotient_of_Group_by_Center_Cyclic_implies_Abelian

R. Singh · Answer 2

Suponer $(1)$ $o(G)=p^3$ y $G$ es un grupo abeliano (esto es posible porque para cada entero positivo ' $n$ ', hay un grupo cíclico de orden $n$ , por lo tanto abeliano), por lo que en este caso, $G/Z(G)$ como cociente de un grupo abeliano es abeliano y así $G$ y $G/Z(G)$ ambos son abelianos.

(2) G no es abeliano, ahora el orden de $G/Z(G)$ puede ser $1$ , $p$ , $p^2$

$(i)$ Si la orden es $1$ , grupo trivial y por lo tanto $G/Z(G)$ es abeliano

$(ii)$ Si la orden es $p$ , sabemos que todo grupo de orden primo es cíclico y, por lo tanto, abeliano.

$(iii)$ Ahora suponga que el orden es $p^2$ , llevar $G/Z(G)=H$ , entonces $H$ es un $p$ -grupo de orden $p^2$ , entonces $Z(H)$ es de orden $p$ o $p^2$ , si $Z(H)$ es de orden $p^2$ entonces $H=Z(H)$ , entonces $H$ es abeliano.

A continuación supongamos que $Z(H)$ es de orden $p$ , en este caso, $H/Z(H)$ es de orden $p$ , por lo tanto cíclico, lo que significa que $H$ es abelian, por esto si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano .

Entonces, finalmente en cada caso $Z(G)$ es abeliano.

Un grupo de orden p3p3p^3 y su cociente con el centro del grupo

harry55

Tobias Kildetoft

cuasi

harry55

cuasi

cuasi

harry55

Tobias Kildetoft

Respuestas (2)

pollomante

R. Singh

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