Demostrar que los grupos abelianos con dos elementos de orden 2 tienen un subgrupo de orden 4.

Tu prueba está bien.

Más generalmente, si$G$es un grupo abeliano con$H$y$K$subgrupos de los mismos, el conjunto

$$HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$$ es un subgrupo de$G$(esto es válido también en grupos generales, siempre que uno de los subgrupos sea normal).

Sin embargo, en el caso de los grupos abelianos, existe otra propiedad interesante: el mapa

$$\mu\colon H\times K\to HK,\qquad \mu(h,k)=hk$$ es un homomorfismo de grupo (fácil verificación); el dominio es el grupo de productos. ¿Cuál es el núcleo? Tenemos$\mu(h,k)=e$si y solo si$k=h^{-1}$, por lo tanto el kernel es $$\ker\mu=\{(x,x^{-1}):x\in H\cap K\}$$ Por el teorema del homomorfismo, sabemos que, en el caso de grupos finitos, $$|HK|=\frac{|H\times K|}{\lvert\ker\mu\rvert}=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}$$ Tenga en cuenta que$H\cap K$no es $\ker\mu$, pero tienen el mismo orden.

Ahora especializa esto para$H=\langle a\rangle$y$K=\langle b\rangle$, dónde$a,b\in G$tener orden$2$y$a\ne b$.

Entonces$\langle a\rangle\cap \langle b\rangle=\{e\}$, porque no puede contener$a$y es un subgrupo de$\langle a\rangle$. Por eso

$$|\langle a\rangle\langle b\rangle|=\frac{2\cdot2}{1}=4$$ Desde$e,a,b,ab\in\langle a\rangle\langle b\rangle$, esta es la lista completa de elementos.

¿Podemos generalizarlo? Sí, prueba el caso de dos elementos de orden primo$p$; sin embargo,$a\ne b$ya no es suficiente y hay que exigir algo más, precisamente que ninguno es potencia del otro.

Dejar$G$ser un grupo abeliano con elementos$a,b$tal que$|a| = |b| = 2, a \neq b$.

el subgrupo$H = {e, a, b, ab}$es de orden 4.$ab \neq a$o$b$, ya que tampoco$a$o$b$es la identidad.$ab \neq e$desde$aa = e, a \neq b$, y un elemento solo puede tener un inverso.

$H$incluye todos sus inversos, como$(ab)^{-1} = ab$, desde$abab=aabb=e$.

$H$está cerrado, como$aba = aab = b$y$bab = bba = b$.