Pregunta sobre el tratamiento de Sakurai del oscilador armónico:

En la Sección 2.3 de la segunda edición de Modern Quantum Mechanics (que analiza el oscilador armónico), Sakurai deriva la relación

norte a | norte ⟩ = ( norte − 1 ) a | norte ⟩ ,
y afirma que

esto implica que a | norte ⟩ y | norte − 1 ⟩ son iguales salvo una constante multiplicativa.

Para mi sensibilidad, esto sólo está implícito si el λ -espacio propio del operador numérico norte := a † a correspondiente a λ = norte − 1 es unidimensional. Si es multidimensional, entonces no podemos decir que a | norte ⟩ y | norte − 1 ⟩ son proporcionales. Entonces (a menos que haya cometido algún error fundamental) ¿cómo sabemos que el λ espacios propios de norte son unidimensionales?

Respuestas (1)

OP escribió (v1):

Entonces (a menos que haya cometido algún error fundamental) ¿cómo sabemos que el λ -espacios propios de norte son unidimensionales?

Sí, OP tiene razón. En general, no podemos saber. Existen representaciones unitarias reducibles del álgebra de Heisenberg [ a , a † ] = 1 , donde los valores propios de norte están degenerados.

Sin embargo, si se supone que el espacio de ket Hilbert es una representación unitaria irreductible no trivial del álgebra de Heisenberg, entonces se puede demostrar que los valores propios de norte debe ser no degenerado. Ver, por ejemplo, esta respuesta Phys.SE.

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