No degeneración de valores propios del operador numérico para oscilador armónico simple [duplicado]

Posible duplicado:
¿prueba de que el oscilador armónico simple unidimensional no es degenerado?

Estoy tratando de convencerme de que los valores propios norte del operador de número norte = a † a para el oscilador armónico simple cuántico no son degenerados.

No puedo ver una manera de hacer esto solo dado el álgebra de operadores para los operadores de creación y aniquilación. ¿Hay una manera fácil de mostrar esto o depende de algo más profundo? ¡Apreciaría cualquier argumento o idea detallados! Muchas gracias de antemano.

Sabes que los estados de Fock | norte ⟩ generado aplicando el operador de creación norte Los tiempos del vacío tienen diferentes energías, por lo que si puede demostrar que estos estados forman una base completa , entonces habrá terminado.
@MarkMitchison: Estoy un poco oxidado en mi mecánica cuántica fundamental. ¿Podría ampliar la relevancia de los polinomios de Hermite (posiblemente en el contexto de una respuesta completa). ¡Muchas gracias!
Los polinomios de Hermite son las funciones de onda correspondientes a los estados propios del oscilador armónico. Puede encontrarlos recursivamente desde el estado fundamental utilizando los operadores de creación y aniquilación en la representación de posición. Por ejemplo, el estado de vacío (base) se define por
a ^ | 0 ⟩ = metro ω 2 ℏ ( X ^ + i metro ω pag ^ ) | 0 ⟩ = 0
⇒ metro ω 2 ℏ ( X + ℏ metro ω ∂ ∂ X ) ψ 0 ( X ) = 0
⇒ ψ 0 ( X ) ∼ mi − metro ω X 2 2 ℏ
@MarkMitchison: está bien, mostrar que el intervalo de polinomios de Hermite es suficiente, porque cada polinomio de Hermite tiene un norte valor propio, y si se extienden, entonces no podría haber degeneración para ningún valor propio. Pero demostrar que abarcan es un análisis funcional estándar, así que hemos terminado. ¿Estoy en lo correcto? En ese caso, la clave está en pasar a funciones de onda explícitas en la representación de la posición, ya que el álgebra es insuficiente para obtener este resultado.
Sí, ese era mi argumento. No estoy seguro de que sea correcto decir que no puedes hacerlo con álgebra; Me parece recordar que la última vez que hice esto con los operadores de creación y aniquilación pude convencerme de que nada aparte de los estados de Fock podrían ser estados propios del hamiltoniano SHO. Tal vez estaba siendo flojo... En cualquier caso, estoy seguro de que hay una manera de hacerlo sin invocar la representación de posición: ¡no hay nada especial en la representación de posición!
@MarkMitchison: pero seguramente hay algo que gana al ir a la representación de posición, a saber, más información sobre cómo se ven los estados. Una vez que sabemos concretamente que los estados son los polinomios de Hermite y que el espacio de Hilbert es el espacio de las funciones de onda normalizables, hemos terminado. Pero, ¿no es precisamente la representación de posición la que nos da esto? Supongo que el espacio de momento funcionaría igual de bien, pero ¿me equivoco al pensar que obtenemos información al pensar en funciones de onda en lugar de solo estados? ¡Gracias por toda tu ayuda!
Sí, ¡pero solo obtienes información sobre la posición! En la base de impulso, obtiene información sobre la distribución de impulso (las funciones de onda son las mismas en cualquier base para el oscilador armónico porque el hamiltoniano es simétrico bajo X ↔ pag en un sistema apropiado de unidades). Cualquier base servirá, la posición no tiene un estatus especial. Después de todo, los operadores de escalera son solo una rotación canónica de operadores de posición y momento, por lo que igualmente podría ir a la base de estado coherente ; al hamiltoniano no le importa qué base uses.
Sin embargo, puede tener un punto de que proyectar sobre una base le brinda algo útil. Mi intuición es que realmente no te da nada más que el álgebra, ya que la forma de las funciones de onda del espacio de posición (digamos) depende en última instancia de las relaciones algebraicas entre el operador de posición y el hamiltoniano. Sin embargo, ir a la base de la posición podría ser la forma más rápida de hacerlo.

Respuestas (2)

Recordar H ^ = ( norte ^ + 1 2 ) y [ a ^ , a ^ † ] = 1 (goteante ℏ y ω ).

  1. Asumir el estado fundamental | 0 ⟩ no es degenerado. Puedes probar esto resolviendo ⟨ X | a ^ | 0 ⟩ = 0 en la representación de posición, pero no sé cómo hacerlo algebraicamente. El resto de la demostración es algebraica.

  2. Sea el primer estado excitado k -pliegue degenerado: | 1 i ⟩ , i = 1 , … , k , dónde | 1 i ⟩ ortonormal Entonces, por el álgebra tenemos

    a ^ | 1 i ⟩ = | 0 ⟩
    y
    a ^ † | 0 ⟩ = ∑ i C i | 1 i ⟩
    dónde ∑ i C i ⋆ C i = 1 .

  3. Ahora bien, para que estos estados sean estados propios de H ^ con energia 3 2 deben ser valores propios de norte ^ con valor propio 1. Esto requiere

norte ^ | 1 i ⟩ = a ^ † a ^ | 1 i ⟩ = a ^ † | 0 ⟩ | 1 i ⟩ = ∑ j C j | 1 j ⟩

Esto debe valer para todos i , lo que conduce a una contradicción inmediata (no hay solución para el C i ) a menos que k = 1 .

La inducción prueba la no degeneración de los estados superiores.

No solo uso álgebra de operadores aquí, por lo que probablemente ya sepa lo siguiente, pero en caso de que ayude:

  1. Los estados propios del operador numérico son estados propios del hamiltoniano, ya que H ^ = ℏ ω ( norte ^ + 1 2 ) .
  2. Los estados vinculados en una dimensión no son degenerados (consulte, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/0706.1135 para conocer las condiciones). La prueba dada en ese enlace depende de elegir dos estados ligados con la misma energía y usar la ecuación de Schrodinger para mostrar fácilmente que el Wronskiano W = ψ 2 ψ 1 ′ − ψ 1 ψ 2 ′ es constante Al evaluar W en ∞ , la constante debe ser cero (con condiciones), por lo que los estados deben ser proporcionales y, por lo tanto, los mismos después de la normalización.
No degeneración de valores propios del operador numérico para oscilador armónico simple [duplicado]
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