¿Existe un teorema generalizado de Wigner-Eckart?

Sí. Uno puede definir operadores de tensor de manera bastante general (transformados generalmente por representaciones de dimensión finita) y uno tiene

$$\langle \lambda_1;\alpha_1\vert T_{\lambda_2,\alpha_2}\vert \lambda_3,\alpha_3\rangle = \langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle \times \hbox{(something)}$$ con $\langle \lambda_1 \Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$dependiendo de las etiquetas de representación $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$solo pero no en las "etiquetas internas" $\alpha_k$. El "algo" suele ser proporcional a un CG y, en el caso de grupo compacto, también contiene algún factor de dimensionalidad. (El caso interesante de su(1,1) no compacto se analiza en Ui, Haruo. "su (1, 1) cuasi-spin formalismo del sistema de muchos bosones en un campo esférico". Annals of Physics 49.1 (1968) ): 69-92.)

Generador (como tensores) tienen$\lambda_1=\lambda_3$por definición (ya que no pueden cambiar las etiquetas de representación), pero en general no necesariamente necesita$\lambda_1=\lambda_3$. Por ejemplo,$x+iy$es el componente de un$L=1$tensor para$su(2)$y ciertamente puede cambiar$j$entre los estados inicial y final.

En$su(2)$todos los irreps son autoconjugados, por lo que, de manera más general, la condición es que$\lambda_1^*\otimes\lambda_2\otimes\lambda_3$contienen la representación trivial.

Hay mucha literatura sobre operadores tensoriales para$SU(n)$ya que este tipo de técnica se usó (y todavía se usa) bastante en física nuclear (particularmente en el contexto de$SU(3)$y los llamados modelos IBM de Arima e Iachello). De manera más general, LC Biedenharn pasó parte de su carrera estudiando esto y, en particular, estudiando los llamados tensores de cambio para ayudar con la construcción de coeficientes CG. Un documento representativo es éste .

También existen operadores tensoriales y formulación del teorema de Wigner-Eckart para grupos finitos.

Es posible que desee comprobar estos:

1. Agrawala, Vishnu K. "Teorema de Wigner-Eckart para un grupo arbitrario o álgebra de Lie". Revista de Física Matemática 21.7 (1980): 1562-1565.
2. Jeevanjee, Nadir. Una introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos, Birkhauser, 2016., Sec.6.2
3. Rowe, DJ y J. Repka. "Tensores de cambio inducidos en la teoría del estado coherente del vector". Revista de Física Matemática 36.4 (1995): 2008-2029.

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Editado para agregar:

Para el elemento de matriz reducida$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle$ser distinto de cero, no se puede decir mucho más allá del requisito de que$\lambda_1$estar contenida en la descomposición de$\lambda_2\otimes\lambda_3$. Incluso cuando este es el caso, no hay garantía de que$\langle \lambda_1\Vert T_{\lambda_2}\Vert \lambda_3\rangle\ne 0$ya que esto puede depender del tensor específico y también de cómo$\lambda_k$se construyen.

En general, el producto tensorial

$$\lambda_2\otimes\lambda_3=\sum_k \gamma_k\lambda_k$$ con $\gamma_k$el número de veces $\lambda_k$ocurre en la descomposición de $\lambda_2\otimes\lambda_3$.

En$SU(2)$,$\gamma_k$es siempre cualquiera$0$o$1$, pero este no es el caso general. Incluso el tensor del adjunto de$SU(3)$consigo mismo - es decir$(1,1)\otimes (1,1)$o$\boldsymbol{8}\otimes\boldsymbol{8}$dependiendo de su notación, producirá dos copias de$(1,1)$en la descomposición, como se puede comprobar de diversas maneras, como los cuadros de Young.

El problema es que no existe un algoritmo fácil para construir elementos básicos para las múltiples copias de$\lambda_k$, lo que significa que no tiene paleta cuando se trata de decir algo sobre los ceros de los elementos de la matriz reducida, excepto caso por caso. Después de todo, las múltiples copias de$\lambda_k$son matemáticamente equivalentes, por lo que es perfectamente posible tomar (las mismas combinaciones globales) lineales de elementos básicos en dos (o más) copias de$\lambda_k$ser otra base legítima. (Esto es bastante análogo a la teoría de la perturbación degenerada, donde no se señalan combinaciones lineales específicas de estados básicos en el subespacio degenerado). Si$\rho$distingue la ocurrencia de$\lambda_k$, puede haber elecciones de bases en las que más$0$aparecer en$\langle \lambda_1;\rho_1\Vert T_{\lambda_2;\rho_2}\Vert \lambda_3;\rho_3\rangle$para uno o más tensores específicos, pero eso es realmente caso por caso.

Para completar, puedo agregar que los ejemplos más conocidos de procedimientos para construir copias múltiples de irreps son de$su(3)$. Por supuesto, esto solo aborda directamente el cálculo de estados básicos, no el cálculo de elementos de matriz reducidos, pero depende en gran medida del uso del teorema WE para tensores de desplazamiento "especiales".

El algoritmo más famoso es

1. Draayer, JP y Yoshimi Akiyama. "Coeficientes de Wigner y Racah para SU(3)." Revista de física matemática 14.12 (1973): 1904-1912

y el seguimiento

2. Bahri, C. y JP Draayer. "SU (3) paquete de elementos de matriz reducidos". Comunicaciones de física informática 83.1 (1994): 59-94. Esto es completamente numérico.

Algunos trabajos analíticos tempranos se pueden encontrar en

3. Hecht, KT "Reacoplamiento SU3 y parentesco fraccional en el caparazón 2s-1d". Nuclear Physics 62.1 (1965): 1-36 e ilustrará la complejidad de la tarea.

El procedimiento más elegante utiliza la teoría del estado coherente vectorial:

4. Rowe, DJ y J. Repka. "Un algoritmo algebraico para calcular los coeficientes de Clebsch-Gordan; aplicación a SU (2) y SU (3)". Revista de Física Matemática 38.8 (1997): 4363-4388.

y se implementó numéricamente en

5. Bahri, C., DJ Rowe y JP Draayer. "Programas para generar coeficientes de Clebsch-Gordan de SU (3) en bases SU (2) y SO (3)". Comunicaciones de física informática 159.2 (2004): 121-143.

Esto también es en gran parte numérico, ya que requiere la diagonalización de algunas matrices cuando se producen irrepeticiones repetidas en la descomposición, pero se puede dar algún sentido a la construcción de estados en irrepeticiones repetidas en el límite de representación grande.