¿Qué es exactamente un estado coherente y por qué es interesante?

Question

¿Qué es exactamente un estado coherente y por qué es interesante?

zo0x

Tenga en cuenta que no tengo experiencia en física, así que si es posible, absténgase de un montón de $|x\rangle$ notaciones, a menos que se especifique claramente lo que significa simbólicamente.

Así que he estado aprendiendo sobre la teoría de la representación últimamente, en particular, he estudiado representaciones irreducibles integrables cuadradas, y estoy interesado en las aplicaciones de estas. He llegado a entender que dada una representación cuadrada integrable irreducible $U$ de un grupo localmente compacto $G$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y un vector admisible $g \in \mathcal{H}$ , entonces la órbita $\mathscr{O}_g := \{U(x)g\mid x\in G\}$ es un estado coherente . Además, si el grupo $G$ es el (Weyl-) grupo de Heisenberg, entonces estos estados coherentes son "estados coherentes clásicos" (?).

Entonces entiendo de esto que los estados coherentes pueden ser descritos por estas colecciones de vectores/funciones en un espacio de Hilbert y, a veces, constituyen marcos y posibles wavelets (?). ¿Cómo se entiende exactamente tal colección de vectores en el contexto de estados coherentes? ¿Qué describe un estado coherente? y ¿por qué son interesantes?

Si puede remitirme a artículos o literatura que explique estas preguntas en términos comprensibles para alguien que en su mayoría ha tenido mecánica básica, sería muy apreciado.

ana v

Supongo que está familiarizado con el ejemplo clásico de coherencia, ¿los soldados rompen el paso al cruzar un puente? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Coherencia en física significa estar en sintonía, y cuando las ondas están en discusión, son coherentes si las fases están fijas .

zo0x

Entonces, ¿la coherencia es cuando algo está sincronizado, por ejemplo, las oscilaciones? Sin embargo, lo que realmente me gustaría es un poco de información sobre cómo estos estados coherentes (como en colecciones de vectores) se aplican en la física.

garyp

Puedo darte un ejemplo de un estado coherente en la mecánica cuántica. Las funciones de onda de estados propios de energía del oscilador armónico tienen una amplitud significativa en toda la región del espacio "clásicamente permitida". Es difícil ver cómo se relaciona esto con una bola y un resorte, en el que la bola existe en un lugar definido y oscila. Se puede construir un estado (el estado coherente) donde la función de onda se localiza en la ubicación clásica y oscila . También es la función de onda de mínima incertidumbre. (No puedo ayudarte con tus matemáticas, ni con un ejemplo clásico).

ana v

Te di un ejemplo con el láser. Cada fotón está representado por uno de sus vectores, y son coherentes si tienen una fase fija cuando se representan como una función sinusoidal. lee los párrafos anteriores

Respuestas (1)

¿Qué es exactamente un estado coherente y por qué es interesante?

Supongo que está familiarizado con el ejemplo clásico de coherencia, ¿los soldados rompen el paso al cruzar un puente? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Coherencia en física significa estar en sintonía, y cuando las ondas están en discusión, son coherentes si las fases están fijas .
Entonces, ¿la coherencia es cuando algo está sincronizado, por ejemplo, las oscilaciones? Sin embargo, lo que realmente me gustaría es un poco de información sobre cómo estos estados coherentes (como en colecciones de vectores) se aplican en la física.
Puedo darte un ejemplo de un estado coherente en la mecánica cuántica. Las funciones de onda de estados propios de energía del oscilador armónico tienen una amplitud significativa en toda la región del espacio "clásicamente permitida". Es difícil ver cómo se relaciona esto con una bola y un resorte, en el que la bola existe en un lugar definido y oscila. Se puede construir un estado (el estado coherente) donde la función de onda se localiza en la ubicación clásica y oscila . También es la función de onda de mínima incertidumbre. (No puedo ayudarte con tus matemáticas, ni con un ejemplo clásico).
Te di un ejemplo con el láser. Cada fotón está representado por uno de sus vectores, y son coherentes si tienen una fase fija cuando se representan como una función sinusoidal. lee los párrafos anteriores

yuggib · Answer 1

Definiré estados coherentes en el contexto de los espacios de Fock (creo que es más simple que definirlos en mecánica cuántica, e históricamente más preciso; para los qm ven la referencia al final). Dado cualquier espacio de Hilbert separable $\mathscr{H}$ , podemos definir el espacio de Fock simétrico $\Gamma_s(\mathscr{H})$ como:

Γ_{s} (H) = ⨁_{norte = 0}^{\infty} H^{\otimes_{s} norte}

$\Gamma_s(\mathscr{H})=\bigoplus_{n=0}^\infty \mathscr{H}^{\otimes_s n}$ dónde

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ y

\otimes_{s}

$\otimes_s$ es el producto tensorial simétrico. El espacio de Fock antisimétrico es lo mismo sustituyendo productos simétricos por productos antisimétricos. Me centraré en la situación simétrica, aunque también se pueden definir estados coherentes para espacios de Fock antisimétricos (con la ayuda de álgebras de Grassmann).

En $\Gamma_s(\mathscr{H})$ los operadores básicos (ilimitados) son los operadores de creación y aniquilación $a^*(f)$ y $a(f)$ , $f\in \mathscr{H}$ . Son uno adjunto al otro, y son el cierre de

a (F) {gramo}^{\otimes norte} = \sqrt{norte} ⟨ F, gramo ⟩_{k} {gramo}^{\otimes (norte - 1)}

$a(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n} \; \langle f , g\rangle_{\mathscr{K}} \; g^{\otimes (n-1)}$

a^{*} (F) {gramo}^{\otimes norte} = \sqrt{norte + 1} F \otimes_{s} {gramo}^{\otimes norte}

$a^{*}(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n+1} \; f\otimes_s g^{\otimes n}$ Puede encontrar una buena referencia, dominio de definiciones y otra información en el segundo volumen de los libros de Reed y Simon "Métodos de la física matemática moderna" (sección sobre campos cuánticos libres). A continuación, puede definir los operadores de Weyl

W (F) = Exp {i (a^{*} (F) + a (F))}, F \in H .

$W(f)=\exp\{i(a^*(f)+a(f))\}\; ,\; f\in \mathscr{H}\; .$ Son unitarios y satisfacen las relaciones de Weyl.

W (F) W (gramo) = W (F + gramo) {mi}^{- i ℑ ⟨ F, gramo ⟩_{H}} .

$W(f)W(g)=W(f+g)e^{-i\Im \langle f,g\rangle_{\mathscr{H}}}\; .$ Además, traducen los operadores de creación y aniquilación, y tienen muchas otras buenas propiedades. Los estados coherentes se definen como

W (F) Ω,

$W(f)\Omega\; ,$ dónde

Ω

$\Omega$ es el vacío espacial de Fock, es decir, el estado con solo un componente distinto de cero, el vector unitario de

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ .

Las relaciones de Weyl están estrechamente relacionadas con la teoría de la representación (aunque no sé mucho sobre eso), y ese puede ser el vínculo con las representaciones de su grupo Weyl-Heisenberg.

Estos vectores son muy relevantes en muchos aspectos de la física, por ejemplo, en el análisis semiclásico. Desde un punto de vista experimental, son fáciles de preparar, especialmente cuando se trata de radiación (óptica cuántica).

En este libro se puede encontrar una revisión matemática exhaustiva y reciente sobre estados coherentes .

¿Por qué estados coherentes? $W(f)\Omega$ son iguales a $e^{-\frac{1}{2}||f||^{2}_{\mathcal{K}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}$ ?
@GabrielPalau Se deriva de un cálculo directo, escribiendo el exponencial como una serie (esto es posible en el vacío, ya que este último es un vector analítico para los operadores de creación y aniquilación).
Y probablemente, si no recuerdo mal, la fórmula es válida para $W(\frac{f}{i})\Omega$ en vez de $W(f)\Omega$ .

¿Qué es exactamente un estado coherente y por qué es interesante?

zo0x

ana v

zo0x

garyp

ana v

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gabriel palau

yuggib

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