Oscilador armónico - Cuantificación de energía

El HO cuántico unidimensional se puede resolver en la representación de Schrödinger obteniendo la ecuación diferencial de Hermite

d 2 y d X 2 − 2 X d y d X + λ y = 0
con soluciones
y ( X ) = H norte ( X )
lo cual es cierto para valores enteros de λ . En el caso de valores no enteros de λ las soluciones vienen dadas por funciones hipergeométricas

y ( X ) = C 1 H λ 2 ( X ) + C 2 1 F 1 ( − λ 4 ; 1 2 ; X 2 )
y parece que estas funciones no son integrables al cuadrado y, por lo tanto, no son funciones de onda válidas/físicamente aceptables.

En esta perspectiva, tiendo a entender que la cuantización surge solo como una característica de restringir las soluciones a valores enteros, que son los únicos integrables al cuadrado.

Espero con interés las explicaciones sobre este aspecto, ya que hay muchos casos en los que se producen soluciones polinómicas (que son soluciones para algún valor entero del valor propio en la ecuación diferencial). (Por ejemplo, las soluciones del átomo de hidrógeno).

PD: En el caso de un pozo de potencial cuadrado infinito, la cuantificación de la energía parece provenir de las condiciones de contorno. Entonces, ¿cuál es una analogía con eso en el caso de los casos de átomos de hidrógeno y oscilador armónico?

Respuestas (2)

Si una función es una solución de la ecuación de Schroedinger, es una solución. El adjetivo "válido" no parece ser muy útil en tal situación.

La palabra "válida" se usa mejor en "solución válida del problema de valores propios", que tiene algunos requisitos adicionales para ser una solución de Schr. ecuación: la mayoría de las veces se requiere que la función se reduzca a cero en el infinito o que sea integrable, por ejemplo, para que sea susceptible a la interpretación de Born de | ψ | 2 .

De esta forma, solo algunas de las soluciones del Schr. ecuación son también soluciones del problema de valores propios; también deben satisfacer las condiciones de contorno prescritas y la normalización, que se consideran parte del problema de valores propios. La situación es algo análoga a la situación en mecánica: no todas las soluciones de las ecuaciones de movimiento son interesantes; sólo lo son aquellos que satisfacen las condiciones iniciales prescritas.

¡Lo siento, no quise decir una función de onda cuántica mecánicamente aceptable! He hecho algunas ediciones. Gracias !!
Entonces, en este caso, ¿la condición de contorno restringe las soluciones a valores enteros?
@ usuario35952 sí. Sin condiciones de contorno, tiene una solución general para cualquier λ , tiene dos parámetros libres. Cuando impone condiciones de contorno, uno de estos parámetros se utiliza para satisfacer una condición de contorno y otro es el coeficiente de normalización. Para satisfacer la segunda condición de contorno, debe restringir λ a algún espectro de valores.
Entonces, ¿podemos decir que la cuantificación de un sistema en general siempre se debe a la condición de contorno?
@user35952 En general, la cuantización aparece como una propiedad del operador que seleccione. Cuando define un operador, debe definir su dominio y, por lo tanto, las condiciones de contorno. Los vectores propios de ese operador son las soluciones de la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo. Si el espectro del operador tiene una parte discreta, entonces tiene algunos estados cuantificados.
La indexación discreta puede ocurrir solo para una parte del espectro. Para el átomo de hidrógeno, el espectro es discreto solo para energías negativas. Para energías positivas, existen valores propios positivos indexados continuamente asociados con funciones propias impropias, funciones que satisfacen la ecuación de Schroedinger pero no la condición de normalización. Estos también son importantes para obtener una buena base generalizada para expresar funciones integrables.
@JánLalinský: Correcto, gracias por recordar esa parte, parece ser cierto para cualquier sistema vinculado que pueda liberarse más allá de cierta distancia.

En el presente caso, es la integrabilidad cuadrada más que las condiciones de contorno lo que restringe el conjunto de valores propios.

¿No es la integrabilidad cuadrada en sí misma una forma de condición de contorno? es decir | ψ ( X ) | 2 → 0 como X → ∞ .
No lo creo. La integrabilidad cuadrada no implica necesariamente que |ψ(x)|^2→0 cuando x→∞. Piense en una función que desaparece en todas partes excepto por los enteros positivos n y un pequeño intervalo I_n alrededor de ellos donde tiene el valor 1. Si la longitud de I_n tiende a 0 lo suficientemente rápido como n→∞ entonces la función es integrable al cuadrado pero no tiende a 0.
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