¿Qué es el álgebra de Weyl de una partícula bosónica confinada?

El álgebra de Weyl abstracta$W_n$es el *-álgebra generado por una familia de elementos$U(u),V(v)$con$u,v\in\mathbb{R}^n$tal que (relaciones de Weyl)

$$U(u)V(v)=V(v)U(u)e^{i u\cdot v}\ \ Commutation\ Relations$$ $$U(u+u')=U(u)U(u'),\qquad V(v+v')=V(v)V(v')$$ $$U(u)^*=U(-u),\qquad V(v)^*=V(-v)$$ Es un hecho bien conocido (teorema de Stone-von Neumann) que todas las representaciones irreducibles $\pi:W_n\rightarrow B(H)$de este álgebra tal que $$s-\lim_{u\rightarrow 0}\pi(U(u))=U(0),\qquad s-\lim_{v\rightarrow 0}\pi(V(v))=V(0)$$ son equivalentes unitarios al de Schroedinger: $$H\equiv L^2(\mathbb{R}^n)$$ $$\pi(U(u))\equiv e^{i\overline{u\cdot X}},\qquad \pi(V(v))\equiv e^{i\overline{v\cdot P}}$$ dónde $X,P$son los operadores habituales de posición y momento definidos (y esencialmente autoadjuntos) en el espacio de Schwartz $S(\mathbb{R}^n)$. Por esta razón, este álgebra se suele asociar a la cuantización de una partícula no relativista sin espín en $\mathbb{R}^n$. Pero, ¿qué sucede si se considera una partícula sin espín confinada en una subregión $K\subset\mathbb{R}^n$, por ejemplo un círculo $S^1\subset\mathbb{R}^2$, una esfera $S^2\subset\mathbb{R}^n$o un subconjunto abierto genérico? El espacio de estado aún podría elegirse como $L^2(K)$, pero ¿qué pasa con el Álgebra de Weyl asociada? Creo que todavía se puede definir de forma abstracta pero, mientras que las relaciones de conmutación deben conservarse de alguna manera, el dominio de los parámetros $(u,v)$todavía no se puede tomar como $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$de lo contrario caemos en el contexto anterior.

¿Existe alguna receta para una situación tan general? Para ser más precisos: Dada una partícula bosónica confinada en una subregión K, ¿es posible asociar una familia de elementos abstractos$U(u),V(v)$,$u,v$pertenecientes, por ejemplo, a algunos grupos aditivos, de modo que se satisfagan las propiedades de Weyl anteriores?