Oscilador armónico: ecuación de valor propio hamiltoniano en base coordinada

Su observación es realmente correcta, en el siguiente sentido. Considere los elementos de la matriz del operador de cantidad de movimiento:

$$\begin{align} \langle x \vert \hat{P} \vert y \rangle &= \int dp \langle x \vert \hat{P} \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int dp ~ p~ \langle x \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int \frac{dp}{2\pi} ~ p~ e^{ip(x-y)} \\ &= i \delta'(x-y), \end{align}$$

dónde$\delta'(x-y)$es la derivada generalizada del delta de Dirac. Verá entonces que este operador es casi diagonal, pero existe esta molesta derivada en el delta de Diarc. Sin embargo, cuando multiplica esto por una función de onda e integra, encontrará que puede pasar la derivada a la función de onda y recuperar un delta de Dirac simple.

Los elementos de la matriz hamiltoniana entonces van como

$$\begin{align} \langle x \vert \hat{H} \vert y \rangle &\propto \langle x \vert \hat{P}^2 \vert y \rangle \\ &\propto \int \frac{dp}{2\pi} ~ p^2~ e^{ip(x-y)} \\ &\propto i^2 \delta''(x-y). \end{align}$$

Usando esto en tu última expresión:

$$\begin{align} \delta(x-y)E_n\phi_n(y) &= H(x, y)\phi_n(y)\\ &= \left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \end{align}$$

Integrando sobre la variable suelta ($x$):

$$\begin{align} E_n\phi_n(y) &= \int dx \delta(x-y)E_n\phi_n(y) \\ &= \int dx\left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta''(x-y)}{2m} \phi_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{\delta'(x-y)}{2m} \phi'_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta(x-y)}{2m} \phi''_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\frac{-\partial^2_y}{2m} + \frac{m\omega^2 y^2}{2}\right) \phi_n(y) \end{align}$$