Pregunta sobre campo de Klein-Gordon Lagrangiano

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Pregunta sobre campo de Klein-Gordon Lagrangiano

Física
hamiltoniano
teoría de campo
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Asung

Estaba estudiando el campo Klein-Gordon con Peskin QFT. Sé que el hamiltoniano del campo escalar se puede escribir como

H = \int d^{3} X [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2}]

$H=\int d^3x\left[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\right]$ Sin embargo, cuando el libro calcula la dependencia temporal de

π

$\pi$ , la ecuación de movimiento de Heisenberg se escribe como la imagen de abajo.

ingrese la descripción de la imagen aquí

En la imagen, el hamiltoniano es diferente al de arriba. Específicamente, $\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2$ convertirse $-\frac{1}{2}\phi\nabla^2\phi$ . ¿Cómo es esto posible?

Matt0410

Integre por partes e ignore el término de frontera.

charlie

Muy a menudo en física, cuando un signo menos debajo de una integral aparece de la nada, el autor ha hecho silenciosamente la integración por partes y ha descartado el término límite.

Respuestas (1)

Pregunta sobre campo de Klein-Gordon Lagrangiano

Muy a menudo en física, cuando un signo menos debajo de una integral aparece de la nada, el autor ha hecho silenciosamente la integración por partes y ha descartado el término límite.

Tu corres · Answer 1

Primero, integra por partes

(\nabla ϕ)^{2} = \nabla \cdot (ϕ \nabla ϕ) - ϕ \nabla^{2} ϕ .

$(\nabla\phi)^2=\nabla\cdot(\phi\nabla\phi)-\phi\nabla^2\phi.$

Luego usa el teorema de Gauss

∭ d V \nabla \cdot (ϕ \nabla ϕ) = \iint d S ϕ \nabla ϕ .

$\iiint\,dV\,\nabla\cdot(\phi\nabla\phi)=\iint\,dS\,\phi\nabla\phi.$

Suponemos siempre que el campo $\phi$ va a cero en el infinito, por lo que este "término límite" se ignora y se obtiene $(\nabla\phi)^2=-\phi\nabla^2\phi$ bajo integral.

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Asung

Matt0410

charlie

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Tu corres

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