Límite sin masa del propagador de Klein-Gordon

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Límite sin masa del propagador de Klein-Gordon

Zakk

Estoy trabajando con el propagador asociado a la ecuación de Klein-Gordon, como se deriva en "Quantum Physics a funcional integral point view", James Glimm, Arthur Jaffe o como se deriva aquí: http://www.wiese.itp.unibe . ch/lectures/fieldtheory.pdf § 5.4

Resulta que el propagador se puede evaluar y se puede dar una expresión de forma cerrada para él, a saber:

C (metro; X - y) = {(\frac{1}{2 π})}^{- \frac{d}{2}} {(\frac{metro}{| X - y |})}^{\frac{d - 2}{2}} k_{\frac{d - 2}{2}} (metro | X - y |)

$C \left( m; \mathbf{x} - \mathbf{y} \right) = \left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{-\frac{d}{2}} \left(\frac{m}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}\right)^{\frac{d-2}{2}} K_{\frac{d-2}{2}} \left( m \left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right| \right)$

dónde $K$ es la función de Bessel modificada de segunda clase. Me gustaría tomar el límite sin masa en dos dimensiones; al configurar $d=2$ y $m=0$ uno de los términos en la derecha de la ecuación se evalúa como $0^0$ mientras que la función de Bessel modificada tiende a infinito. ¿Cómo calculo el límite sin masa para el propagador Klein-Gordon en 2D?

¡Gracias!

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/13164/2451

Respuestas (3)

Límite sin masa del propagador de Klein-Gordon

tinta de error · Answer 1

Aquí se describe una buena manera de ver cómo se comporta la función de correlación, donde se muestra que el propagador funciona como

C (r) = \frac{1}{2 π} registro (r)

$C(r)=\frac{1}{2\pi}\log(r)$ que también se puede ver como lo da la sugerencia de Qmechanics . Ahora bien, lo interesante no es que diverja en

r = 0

$r=0$ (esto sucede incluso en 4D donde

C (r) = 1 / 4 π^{2} r^{2}

$C(r)=1/4 \pi^2 r^2$ ) pero que también diverge como

r \to \infty

$r\to \infty$ . Esta es una divergencia infrarroja que no había encontrado antes. El artículo de Wikipedia vinculado anteriormente establece que esto hace que un campo escalar sin masa bidimensional sea un poco difícil de definir matemáticamente y también que no se puede tener una ruptura espontánea de una simetría continua en dos dimensiones. ¡Muy interesante!

qmecanico · Answer 2

Sugerencia: use, por ejemplo, que la función de Bessel modificada $K_0$ se comporta como menos el logaritmo para argumentos pequeños cercanos a cero.

Referencia:

Abramowitz y Stegun, Manual de funciones matemáticas, pág. 375, ec. (9.6.8). Para obtener una versión en línea, consulte, por ejemplo, aquí .

Enlace ahora muerto. Pruebe la búsqueda de Google en su lugar.

tinta de error · Answer 3

Te sugiero que primero establezcas $d=2$ donación

C (metro; X - y) = \frac{1}{2 π} k_{0} (metro | X - y |)

$C \left( m; \mathbf{x} - \mathbf{y} \right) = \frac{1}{2 \pi} K_0 \left( m \left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right| \right)$ y luego tomar el límite sin masa.

Tal vez debería haber mencionado eso, he probado este enfoque... Al tomar la $m \longrightarrow 0$ límite la función de Bessel va a $\infty$ para que el propagador sea infinito en todas partes...

Límite sin masa del propagador de Klein-Gordon

Zakk

qmecanico

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qmecanico

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Zakk

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