Teoría hamiltoniana de campos en Peskin y Schroeder

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Teoría hamiltoniana de campos en Peskin y Schroeder

Física
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hombre de la lluvia

En la Sección 2.2 de su libro de texto QFT, Peskin y Schroeder presentan las teorías de campo lagrangiana y hamiltoniana de un campo escalar clásico. Al definir la acción $S[\phi]$ y derivando la ecuación de Euler-Lagrange para el campo escalar clásico $\phi$ , el campo escalar clásico $\phi$ se considera que es una función de una posición $4$ -vector $x = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)$ .

Luego en la página No. 16, de repente comienzan a escribir su campo escalar clásico $\phi$ como función de un solo vector de posición $\textbf{x} = (x, y, z)$ y escribir hamiltoniano $H$ como (Ec. (2.5))

\begin{matrix} (2.5) & H = \int d^{3} X [π (X) \dot{ϕ} (X) - L] . \end{matrix}

$H = \int d^3x \left[\pi(\textbf{x}) \dot{\phi}(\textbf{x}) - \mathcal{L}\right].\tag{2.5}$

Después de eso, vuelven a cambiar a usar la posición $4$ -vector $x$ en la discusión de la ecuación de Klein-Gordon y escriba ecuaciones donde $\phi$ es una función de $x$ ; por ejemplo, Ec. (2.8) en la página no. 17:

\begin{matrix} (2.8) & H = \int d^{3} X H = \int d^{3} X [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2}] . \end{matrix}

$H = \int d^3x \, \mathcal{H} = \int d^3x \left[\frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2} m^2\phi^2\right]. \tag{2.8}$

Mis preguntas

¿Por qué la posición $4$ -vector $x$ cambiado a la posición 3-vector $\textbf{x}$ ? ¿Cuál es la motivación para eso?

Respuestas (3)

Teoría hamiltoniana de campos en Peskin y Schroeder

Zack · Answer 1

Cuando se transforma de la imagen lagrangiana a la hamiltoniana, necesariamente debe elegir una foliación particular del espacio-tiempo, es decir, debe señalar una dirección de tiempo particular y considerar superficies de tiempo constante. Una forma sencilla de entender esto es que mientras que el lagrangiano es un escalar de Lorentz, la densidad hamiltoniana es el componente temporal de la densidad de cuatro impulsos, por lo que su valor depende de su elección de ejes de espacio y tiempo.

Por supuesto, dicho esto, no se me ocurre ninguna razón por la que no puedas permitir que tus campos clásicos incluyan su dependencia temporal una vez que eliges una dirección temporal. Mi mejor conjetura es que Peskin y Schroeder inicialmente eliminaron la dependencia del tiempo para enfatizar que están considerando un intervalo de tiempo en particular. También podrían tener en cuenta que están a punto de cuantificar su teoría de campos en la imagen de Schrödinger, donde los campos ciertamente no dependen del tiempo. Pero también podrían ser un poco descuidados aquí.

Veo. Probablemente esperaba una línea o algo así en el libro de texto para aclarar su posición. Por lo tanto, su respuesta ciertamente ayuda y muchas gracias por ello.
Según el segundo párrafo de su respuesta, en Eq. (2.5), si asumo que los campos $\phi$ y $\pi$ son funciones de cuadrivector de posición $x$ , entonces $H$ se convierte en una función del tiempo, porque $H = \int d^3 x \mathcal{H}(x) = H(t)$ . Entonces, ¿cómo interpretaría esto?
En general, su hamiltoniano ciertamente puede ser una función del tiempo, por ejemplo, si tiene un campo fuente $J(x)$ . Pero aquí, la dependencia del tiempo es trivial: aunque $\phi$ y $\pi$ tener dependencia del tiempo, $H$ es una constante de movimiento y no evoluciona. La forma más fácil de ver esto es resolver la ecuación de Klein-Gordon para $\phi$ y $\pi$ usando una expansión de modo, y vuelva a conectar el resultado en $H$ . Desde $H$ es cuadrático, es casi completamente idéntico al cálculo cuántico que se realiza más adelante en el capítulo.

bolbteppa · Answer 2

Si bien este es un buen libro, su pregunta toca precisamente un tema serio: mientras que en la ecuación (2.5) sus $\phi$ satisface

ϕ (X) = ϕ (X, t),

$\phi(\mathbf{x}) = \phi(\mathbf{x},t),$ en la ecuación (2.25) su

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ satisface

\hat{ϕ} (X) \neq \hat{ϕ} (X, t)

$\hat{\phi}(\mathbf{x}) \neq \hat{\phi}(\mathbf{x},t)$ es decir, el

t

$t$ -La dependencia desaparece por completo sin una explicación real.

Debajo de la ecuación (2.20) dicen explícitamente que están configurando la imagen de Schrödinger, donde los operadores son explícitamente independientes del tiempo. Es por eso que están enfatizando la $\mathbf{x}$ dependencia y no $t$ dependencia también.

Esto podría llevar a pensar que la $t$ la dependencia nunca estuvo allí en $\mathcal{L}$ y $\mathcal{H}$ , pero está ahí en la ecuación de Klein-Gordon y, de hecho, no pudieron derivar Klein-Gordon o incluso usar el formalismo de acción sin eso $t$ dependencia, entonces explicando cómo eso $t$ -La dependencia desaparece es realmente importante de entender.

Ocultan la transición de $t$ dependencia (antes de (2.25)) a no- $t$ -dependencia (de (2.25) en adelante) tanto en la notación que usan como en la analogía del oscilador armónico 1D que dan después de la ecuación (2.20) para argumentar cómo deberían ser los campos independientes del tiempo correctos , obviamente la razón de este enfoque es enfatizar la similitud con los osciladores armónicos.

El hecho de que todo esto es correcto queda nuevamente oculto en lo que hacen en la sección (2.4) que muestra que la imagen de Heisenberg proviene de la conjetura independiente del tiempo que hicieron sobre cuál debería ser el operador de imagen de Schrödinger independiente del tiempo (2.25), aunque la función de Klein -La ecuación de Gordon, sus soluciones y la acción que estaban usando para establecerla dependían explícitamente del tiempo.

Entonces, suponiendo que el $t$ todavía está allí en la sección 2.2, explica por qué la sección anterior a la ecuación (2.4) usó el $x = (t,\mathbf{x})$ notación, y solo están enfatizando la $\mathbf{x}$ dependencia porque quieren tratar de interpretar los campos clásicos como operadores de imágenes de Schrödinger independientes del tiempo (como se dice debajo de la ecuación (2.20)).

En (2.25) a (2.28) es solo porque argumentaron por analogía con el oscilador armónico 1D que pueden escribir la expansión del modo general de los campos $\hat{\phi}$ (y entonces $\pi$ ) como independiente del tiempo. Pero si uno quiere evitar conjeturas, deberíamos poder llegar a (2.25) con el $t$ dependencia sigue ahí, por lo que el $a_{\mathbf{p}}$ son realmente $a_{\mathbf{p}}(t)$ 's. Hay un salto de lógica muy claro escondido en esta analogía, que es bueno pero puede ser muy confuso.

Entonces si el $\phi$ depende de $t$ , y entonces $x = (t,\mathbf{x})$ , la única forma en que este procedimiento puede ser consistente es si la dependencia del tiempo se 'separa' de la expansión total del campo cuántico o clásico. Si miras entre (2.20) y (2.21) usan la dependencia del tiempo de los campos en $t$ en la configuración de su analogía del oscilador armónico 1D por lo que no están siendo coherentes con la forma en que se ocupan de $t$ .

Entonces, en realidad, todo esto es en realidad la derivación de la imagen de Heisenberg hasta que comienzan a surgir las conjeturas. Compare con ([2], Capítulo 3) que hace una derivación similar (sin analogías) en la imagen de Heisenberg.

Entonces, ¿cómo sería la descripción de P&S si no adivinaran?

En primer lugar, aún tendríamos que obtener (2.25) a continuación. Podemos simplemente escribir la expansión del modo general de $\hat{\phi}$ en (2.25) como la solución general de la ecuación de Klein-Gordon, pero con la dependencia del tiempo incluida, es decir $\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}(\mathbf{x},t)$ . Consulte la referencia [3] a continuación, ecuaciones (43.3 - 43.11), si desea ver esto explicado con mucho más detalle.

Ahora tenemos que deshacernos de la $t$ -dependencia en (2.25) para obtener la perspectiva de la imagen de Schrödinger. Si observa ahora (2.32), el $[\hat{H},\hat{a}_{\mathbf{p}}] = ...$ relaciones de tipo, o más bien su forma en términos de exponenciales en (2.46), estas son las relaciones clave que nos permiten hacer esto. Entonces, en este sentido, sería bueno haber hecho (2.44) a (2.49) a continuación.

Luego, usando (2.32)/(2.46) es un ejercicio simple volver a escribir el (ahora dependiente del tiempo) $\hat{\phi}(\mathbf{x},t)$ en (2.25) como (2.43) que es

\hat{ϕ} (X, t) = {mi}^{\hat{H} t} \hat{ϕ} (X) {mi}^{- i \hat{H} t}

$\hat{\phi}(\mathbf{x},t) = e^{\hat{H}t} \hat{\phi}(\mathbf{x})e^{-i \hat{H} t}$ Esto, finalmente , justifica trabajar con los operadores de Schrödinger independientes del tiempo.

\hat{ϕ} (X) .

$\hat{\phi}(\mathbf{x}).$

Obviamente, debería existir una imagen de Schrödinger, por lo que pueden asumir que existe, pero luego tienen que ignorar el hecho de que asumieron la dependencia del tiempo en la ecuación de Klein-Gordon y la encontraron en sus soluciones, luego supongan que dan como resultado un operador de imagen de Schrödinger . cuando se cuantifican, y luego simplemente omita los detalles de la transición argumentando por analogía (como lo hacen después de (2.20)) sobre cómo deberían verse los operadores independientes del tiempo . La justificación parece ser que todo funciona en la sección 2.4 ya que a partir de su analogía (2.25) obtienes de esto (en (2.43)) una imagen de Heisenberg que devuelve la ecuación de Klein-Gordon.

Sin argumentar por analogía, solo ahora podemos realmente decir que las relaciones de conmutación (lo que dijeron que se supone que debes asumir son independientes del tiempo, a pesar de usar la dependencia del tiempo justo debajo de ellas) en (2.20) son consistentes. Realmente deberíamos haber especificado que eran conmutadores de imágenes de Heisenberg en un tiempo fijo en (2.20) (comparar con [2] ecuación (3.28)). De hecho, pusieron "tiempo igual" entre comillas debajo después de simplemente afirmar que eran operadores independientes del tiempo (aunque usan la dependencia del tiempo justo debajo de esto y dicen que arriba de 2.25 están hablando del clásico Hamiltoniano de Klein-Gordon que se derivó usando campos dependientes del tiempo, simplemente hay un gran salto allí).

Entonces, la forma de leer esto es: la Sección 2.2 tiene dependencia del tiempo (a pesar de la notación), al igual que la imagen de Heisenberg; La sección 2.3 no tiene dependencia del tiempo (aunque usan la dependencia del tiempo de manera crucial en (2.21) para justificar su analogía, lo que les permite evitar los detalles de cómo se elimina la dependencia del tiempo) y usan analogías para argumentar lo que debería ser la imagen de Schrödinger .parece; La Sección 2.4 muestra que la conjetura que hicieron en la Sección 2.3 da las propiedades correctas que uno esperaría de la transición de imágenes de Heisenberg-Schrodinger. Podrían haber derivado simplemente la imagen de Schrödinger al haber continuado con la perspectiva de la imagen de Heisenberg y poner las conjeturas después para mostrar que dio la respuesta que uno esperaría, el precio que uno paga es potencialmente poner el tipo de derivación dado en [3] y se supone que el beneficio es explotar la familiaridad de uno con los osciladores armónicos.

Referencias:

Peskin y Schroeder, "Teoría cuántica de campos", 1ª ed.
Srednicki, "Teoría cuántica de campos", 1ª ed.
Woit, " Teoría Cuántica, Grupos y Representaciones ".

Gracias por tomarse su tiempo y esfuerzo para aclarar las sutilezas. La respuesta aborda todas mis confusiones en las que puedo pensar. Además, el resumen al final ayuda: la sección 2.2 debe tratarse como dependiente del tiempo, pero la sección 2.3 no debe ser así. Aunque estoy pensando mientras trabajo en la sección 2.3, ¿cómo debo interpretar la ec. (2.21).
(2.21) y el de arriba son el método de Fourier para resolver Klein-Gordon. Reemplazarlo en (2.7) da (2.21), que es la ecuación del oscilador armónico. Suponemos que es clásico, por lo que podemos suponer que da como resultado un oscilador armónico hamiltoniano independiente del tiempo como en QM, pero ahora uno para cada valor de $\mathbf{p}$ , entonces (2.23) es lo que sucede para uno $\mathbf{p}$ , luego los sumamos para todos $\mathbf{p}$ como en (2.21) para obtener (2.25). Más adelante en (2.21) el $e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ todavía está ahí , por eso es complejo conjugado en (2.25) vía (2.23).
El comentario anterior es realmente útil porque puedo ver cómo funciona la escalera QM. La técnica se puede aplicar para resolver la teoría cuantizada en QFT. Sin embargo, una pregunta, ¿qué significa esta cláusula: "Más adelante en (2.21) ... allí"?
¿Por qué el $e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ en la ecuación anterior (2.21) se conjuga complejo en el segundo término en (2.25) basado en (2.23)? Estaba tratando de argumentar que es $\phi(\mathbf{p},t) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ No solo $\phi(\mathbf{p},t)$ que satisface la ecuación de SHO (2.21), por lo que es por eso que la $e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ término se vuelve complejo conjugado en el segundo término en (2.25) (dándonos la $e^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ término allí), mirándolo ahora no está 100% claro que esto tenga sentido, verifíquelo cuidadosamente.

qmecanico · Answer 3

El $t$ -la dependencia de las diversas cantidades se suprime en la notación/implícitamente implícita en la mencionada sección clásica 2.2 de P&S. Por ejemplo, los campos clásicos $\phi$ y $\pi$ todavía depende del punto del espacio-tiempo $x=({\bf x},t)$ ; no solo la posición ${\bf x}$ .

La historia clásica anterior está más relacionada con la imagen de Heisenberg en la teoría cuántica correspondiente. Como de costumbre, los operadores no tienen dependencia del tiempo en la imagen de Schrödinger , cf. la respuesta de bolbteppa.

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