Teoría escalar compleja: los operadores de aniquilación y creación dan conmutadores incorrectos con Hamiltonian

La teoría de un campo escalar real (hermitiano) se puede encontrar en muchos libros y en todas partes en línea. Por otro lado, si tomamos el campo no hermitiano, solo puedo encontrar notas sobre integrales de trayectoria. No puedo encontrar nada sobre las conmutaciones canónicas, así que traté de derivarlo yo mismo. La cuestión es que encuentro un conmutador incorrecto con el hamiltoniano y no puedo detectar mi error. Me resultaría muy útil si alguien tiene algo que decir al respecto.

Probablemente me perderé algunos factores numéricos y podría perder algunas dagas/signos a lo largo de esta publicación, pero estos problemas no son importantes en este momento. Pido disculpas si hay algunos errores menores, por favor, no se preocupen. Por otro lado, si hay algún error importante, por favor téngalo en cuenta y dígame :)

Primer paso: los campos son$\phi(x)$,$\phi^\dagger(x)$,$\pi(x)$y$\pi^\dagger(x)$. Estos conmutan de la siguiente manera

$$[\phi,\phi^\dagger]=[\pi,\pi^\dagger]=[\phi,\pi^\dagger]=0\\ [\phi,\pi]=[\phi^\dagger,\pi^\dagger]=i\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$$ (obviamente tomamos los campos en tiempos iguales)

Segundo paso: de la ecuación de KG, resolvemos para$\phi$

$$\phi(x)=\int\frac{\mathrm d\boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)}\ \mathrm e^{-ikx}a(\boldsymbol k)+\mathrm e^{+ikx}b^\dagger(\boldsymbol k)$$ y ecuaciones similares para los otros campos. Invirtiendo estos, encontramos $$a(\boldsymbol k)=\int \mathrm d\boldsymbol x\ \mathrm e^{ikx} \left[\omega(\boldsymbol k)\phi(x)+i\pi^\dagger(x)\right]$$ y ecuaciones similares para $b(\boldsymbol k)$.

Tercer paso: escribir el hamiltoniano como

$$H=\int\frac{\mathrm d \boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)} \frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[ a^\dagger(\boldsymbol k) a(\boldsymbol k)+b^\dagger(\boldsymbol k) b(\boldsymbol k)\right]$$

El problema viene con el siguiente (y último) paso: si calculo el conmutador de$a$y$b$con$H$, obtengo un resultado inesperado. Por ejemplo,

$$[H,a(\boldsymbol k)]=-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]$$ (Yo estaba esperando algo como $[H,a]=-\omega a$; tenga en cuenta que esto tendríamos si $a=b$, es decir, el campo era hermético)

A partir de esto, podemos ver que$a$no se puede utilizar como operador de aniquilación, porque si$|E\rangle$es un estado con energía$E$, entonces$a(\boldsymbol k)|E\rangle$no será otro estado propio con energía$E-\omega(\boldsymbol k)$; para ver esto, tenga en cuenta que

$$Ha(\boldsymbol k)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)H+[H,a(\boldsymbol k)]\big)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)E-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]\big)|E\rangle$$

si el campo$\phi$era hermitiano, entonces$a=b$de modo que la última igualdad sería$Ha|E\rangle=(E-\omega)a|E\rangle$, entonces$a$ sería un operador de aniquilación. Por otro lado, si$a\neq b$, entonces ni$a$ni$b$Disminuye la energía de los autoestados. ¿Qué hice mal?