Físicamente, sabemos que se ha formado un BEC si un número macroscópico de bosones ocupa un solo estado cuántico. La función de onda de este último, normalizado al número total de átomos condensados , da la descripción macroscópica del condensado. satisfará la ecuación usual de Schrödinger en el potencial de captura (que es el caso especial de la ecuación de Gross-Pitaevskii con cero interacciones).
Por otro lado, un límite macroscópico de un campo de bosones debería ser descrito por la ecuación (clásica) de Klein-Gordon. En el límite no realista relevante, la dispersión del campo de Klein-Gordon es cuadrática, como en la ecuación de Schrödinger, pero me cuesta derivar la primera de la última.
A pesar de esta dificultad técnica mía, ¿es una afirmación válida que BEC es una realización física del límite de onda clásico no relativista de un campo de bosones? Lo veo en la misma línea que la descripción del campo eléctrico de la radiación láser como un límite clásico del estado cuántico coherente.
(La diferencia entre estados numéricos y estados coherentes en el límite es, con suerte, un mero tecnicismo aquí).
Sí, es válido. El campo de Schrödinger es el límite no relativista del campo de Klein Gordon, pero debe tomar el límite con un poco de cuidado, porque debe separar los operadores de creación y aniquilación en campos separados, que se convierten en partes real/imaginaria apropiadamente mezcladas del campo de Schrödinger. .
La forma de hacer esto es expandir la dispersión a segundo orden en el campo escalar de Klein Gordon y (en la teoría libre) identificar con (tirando el resto de la masa), donde es el operador de creación normalizado no relativistamente para el modo k. Entonces es la transformada de Fourier de , y a diferencia de la teoría relativista, tiene una interpretación inmediata como un operador de aniquilación quitando una partícula en x, y de la expansión de la dispersión, obedece a la ecuación de Schrödinger, y de la conjugación compleja, es un campo complejo cuyo conjugado involucra modos cercanos a - m energía en la teoría relativista.
Ese es el campo libre de todos modos. El campo interactivo es más fácil en el límite no relativista, por lo que es más fácil introducir las interacciones comenzando directamente allí (aunque puede hacerlo tomando el límite, por supuesto).
Quillo