Problemas de la ecuación de Klein Gordon

Considere la ecuación de Klein-Gordon

( ◻ + metro 2 ) φ = 0.

  1. La gente suele afirmar que φ ∗ φ no se puede interpretar como una densidad de probabilidad porque ∫ d 3 X → φ ( t , X → ) ∗ φ ( t , X → ) no es independiente del tiempo. entiendo que efectivamente no hay corriente j m satisfaciendo la ecuación de continuidad ∂ m j m = 0 para cual j 0 = φ ∗ φ . Eso garantizaría la invariancia temporal de nuestra integral. Sin embargo, no tener tal corriente no garantiza que la integral no sea independiente del tiempo. ¿Alguien sabe de una mejor explicación para la dependencia del tiempo? Un buen ejemplo sin duda lo aclararía.
    1. La gente afirma que hay una corriente, a saber j m := φ ∗ ∂ m φ − φ ∂ m φ ∗ que satisface la ecuación de continuidad. Sin embargo, j 0 no es definido positivo (nuevamente, un ejemplo sería bueno). ¿Cómo sabemos que no hay otras combinaciones de φ que puede conducir a corrientes conservadas que tienen un componente cero definido positivo?
    2. Se suele decir que los problemas anteriores se deben a que la ecuación de Klein Gordon es de segundo orden en el tiempo. ¿Por qué?

¡Gracias a todos!

Una vez hice una pregunta que está tangencialmente relacionada con uno de los puntos que planteas: physics.stackexchange.com/q/340023

Respuestas (1)

El principal problema de la ecuación de Klein-Gordon es que la densidad de probabilidad no puede definirse positivamente de forma indefinida.

La solución general se puede escribir en expansiones de modo que satisfacen la condición de capa de masa k m k m = metro 2 : se puede demostrar que el j 0 El componente no se puede restringir para que siempre sea positivo porque tiene dos condiciones iniciales que debe tener en cuenta, a saber, la elección de la posición inicial y la velocidad, que se deriva de que la ecuación es de segundo orden. Independientemente de cómo desee preparar su estado inicial, la evolución siempre lo llevará a otro estado donde la densidad puede ser negativa.

Sin embargo, no tener tal corriente no garantiza que la integral no sea independiente del tiempo.

El punto es realmente que la corriente oscila entre valores positivos y negativos en la capa de masa. k m k m = metro 2 .

¿Cómo sabemos que no hay otras combinaciones?

Porque no los hay. La corriente no es más que reescribir la ecuación original para que la derivada aparezca al frente, a saber

∂ m ( ⋅ ) = 0
con la cantidad entre paréntesis necesitando desaparecer si la ecuación original se cumple. Puede intentar manipular las derivadas de izquierda a derecha, pero no obtendrá mucho más.

Se suele decir que los problemas anteriores se deben a que la ecuación de Klein Gordon es de segundo orden en el tiempo. Por qué

Como se dijo, una ecuación diferencial de segundo orden te deja con dos condiciones iniciales arbitrarias: la consecuencia de esta arbitrariedad es que no puedes forzarlas a combinarse siempre para que la densidad sea positiva en todas partes.

Con respecto a su primera respuesta, no hay corriente para el "intento de densidad de probabilidad φ ∗ φ . Eso está claro ya que esto se transforma como un escalar y no como el componente cero de un cuatro vector. ¿Por qué depende del tiempo? Una respuesta que menciona una corriente no es satisfactoria. La respuesta que me ha dicho la mayoría de la gente es que no hay ningún teorema (como el que saldría de una corriente conservada) que garantice que la integral de esta densidad sea constante. Sin embargo, me gustaría ver un ejemplo de una solución a la ecuación de KG en la que se vea la dependencia del tiempo.
Con respecto a su segunda respuesta, ¿cómo sabe que no hay una forma inteligente de manipular las derivadas para obtener alguna otra corriente conservada? De hecho, ¡hay al menos cuatro más! La invariancia del espacio-tiempo produce que para las soluciones de la ecuación de KG ∂ m ( j v ) m = 0 para ( j v ) m = T m v . ¿Hay algo que hace que el tu ( 1 ) simetría especial al tratar de describir las densidades de probabilidad?
Con respecto a la tercera respuesta, veo cómo eso puede conducir a un problema. Sin embargo, ¿hay algún ejemplo en el que podamos ver esto claramente?
"Sin embargo, me gustaría ver un ejemplo de una solución a la ecuación de KG en la que se vea la dependencia del tiempo". bien, cualquier solución de la ecuación de KG tiene una dependencia temporal explícita. Puede escribir la expansión en los modos de Fourier y tomar derivadas con respecto al tiempo y ver que el resultado no siempre puede limitarse a ser cero. En el caso de la ecuación de Schrödinger, la propiedad que ayuda es el hecho de que el hamiltoniano es hermitiano, mientras que aquí la misma ecuación simplemente no se cumple.
"... ¿Hay algo que hace que el tu ( 1 ) simetría especial cuando se trata de describir densidades de probabilidad?..." esa es solo la definición de densidad de corriente. El componente cero-ésimo puede interpretarse como densidad de probabilidad solo en ese caso: recuerde que la carga eléctrica está asociada con tu ( 1 ) simetría, cualquier otra cosa simplemente no es una carga.
"...Sin embargo, ¿hay algún ejemplo en el que podamos ver esto claramente?..." De nuevo, realmente puedes escribirlo en términos de modos y calcular la derivada temporal de los mismos. Terminas con un objeto que simplemente no es cero y no puede ser obligado a serlo en todas partes.
¿Por qué no podemos usar la ecuación de Klein Gordon con la solución de Feynman (usando antipartículas)?
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