Pregunta raíz común sobre ecuaciones cuadráticas para mostrar que a+b+c=0a+b+c=0a+b+c=0

Está incorrecto.

Intentar$b=c=0$y$a=1$.

Tu problema es INCORRECTO.

Dejar$a=2,b=0,c=2$, entonces$f(x)=2x^2-2, g(x)=2x^2+2x$. Está claro que$-1$es la raíz común, pero$a+b+c=4\neq 0$.

PISTA:

Las fórmulas de Vieta.

Deja que las raíces de$f$ser$p$y$q$. Deja que las raíces de$g$ser$p$y$r$.

Entonces

$$p+q=-\frac ba,\quad pq=-\frac ca$$ y $$p+r=-\frac ca,\quad pr=\frac ba$$

Contraejemplo:$a=c, b=0$. Eso es:

$$f(x)=ax^2+bx-c=ax^2-a=0 \Rightarrow x=\pm 1;\\ g(x)=ax^2+cx+b=ax^2+ax=0 \Rightarrow x=-1;0.$$

Comprobación hacia atrás: si$c=-(a+b)$, entonces:

$$f(x)= ax^2+bx-c=0 \iff ax^2+bx+a+b=0 \ \ \ \ \ \ (1) \\ g(x)=ax^2+cx+b=0 \iff ax^2-ax-bx+b=0 \iff (x-1)(ax+a-b)=0 \ \ \ \ (2)$$ Entonces, desde $(2)$: $$x-1=0 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} a=-b.\\ ax+a-b=0 \Rightarrow x=\frac{b-a}{a} \Rightarrow a\frac{(b-a)^2}{a^2}+b\frac{b-a}{a}+a+b=0 \Rightarrow a^2+b^2=ab.$$

Análisis :

Si$f,g$tiene una misma raíz, entonces también es raíz de$f-g$. Desde

$$f(x) - g(x) = (b-c)x -(b+c),$$ entonces la raíz común debería ser $$r = \frac {b+c} {b-c} \quad [b \neq c].$$ Enchufe esto en $f(x)$: $$a (b+c)^2 + b (b+c)(b-c) - c(b-c)^2 =0,$$ cual es $$a(b+c)^2 + b^3 -c^3 +bc^2 -cb^2 =0.$$ Por eso $$a + b + c = \frac 1 {(b+c)^2} (2c^3 + 4b^2c + 2bc^2) = \frac {2c} {(b+c)^2} (c^2 + 2b^2 + bc).$$ Si $c = 0$, y si $b\neq 0$, entonces $a+b + c = 0$. Si $c \neq 0$y $b +c \neq 0$, entonces $$|a +b +c| = \frac {2|c|} {(b+c)^2} \left( \left( c+\frac b2\right)^2 +\frac 74 b^2\right) > 0.$$ Ahora un contraejemplo: toma $b=0$, entonces $a = c$. Elegir $a =c =1$, entonces $$f(x) = x^2 - 1= (x+1)(x-1),\quad g(x)= x^2+x =x(x+1),$$ claramente tienen una raiz comun $-1$pero $a+b+c = g(1)=2\neq 0$.

Conclusión: tal afirmación falla.

Pista: las raíces de$f$son$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$. (¿Por qué? ¿Qué pasó con el signo menos en la fórmula cuadrática?)

¿Cuáles son las raíces de$g$?

Supongamos ahora que la primera raíz de$f$es igual a la primera raíz de$g$, y otros tres casos.

(Sí, esa es una forma muy pedestre de abordar este problema, pero lo llevará allí).

Pista 2: Un enfoque alternativo es decir que

$$f(x) = a (x - u) (x - v)$$ para algunos numeros $u$y $v$(las raíces de $f$), y $$g(x) = a(x-u) (x - w)$$

(el$u$se repite porque$f$y$g$compartir una raíz; también es posible que$v = w$, pero no requerido de ninguna manera.)

Ahora si te expandes$f$, encontrarás una relación entre$b$y$u, v$, y entre$c$y$u, v$; de manera similar para$g$. Mira a dónde te lleva eso.

$$f(x)=ax^2+bx-c$$ $$g(x)=ax^2+cx+b$$ para f(x), las raíces están dadas por: $$(1)\,x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a} \text{and}\, x=\frac{-b-\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$$ para g(x), las raíces están dadas por: $$(2)\,x=\frac{-c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a} \text{and}\,x=\frac{-c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}$$ desde $2a$es común en la parte inferior, ¿podría eliminar esto y luego hacer que los dos lados sean iguales entre sí?

Si$f(x)=ax^2+bx-c$y$g(x)=ax^2+cx+b$tienen una raíz común, demuestre que$a+b+c=0$.

La declaración es falsa, como ya se señaló en varias respuestas.

Sin embargo, lo más probable es que el problema tenga un error tipográfico y, de hecho, la siguiente afirmación es cierta:

Si$b \ne c$, entonces$f(x)=ax^2+bx \color{red}{+}c$y$g(x)=ax^2+cx+b$tienen una raíz común iff$a+b+c=0$.

La prueba sigue inmediatamente al restar las dos ecuaciones, lo que da$\,(b-c)(x-1)=0\,$, por lo tanto la raíz común debe ser$\,x=1\,$.