Hallar el discriminante y las raíces de un polinomio

Si un polinomio se da numéricamente, (coeficientes$a_0..a_n$se dan), el método resultante se puede utilizar para obtener un valor numérico del discriminante. Los coeficientes del polinomio y su derivada se ponen en una matriz de Sylvester (n+2) al cuadrado . Entonces el determinante es el discriminante buscado. Donde escribir el discriminante de una matriz que contiene símbolos es prohibitivo, el discriminante se puede calcular rápidamente numéricamente utilizando los paquetes de matrices existentes en$O(N^3)$tiempo.

esta muy bien explicado en

http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf

Este es el ejemplo 4.7

Si$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, entonces el Teorema 3.3 da

=$b^2c^2d^2 - 4b^2c^3 e - 4b^3d^3 + 18b^3cde - 27b^4e^2 - 4ac^3d^2 + 16ac^4e + 18abcd^3 - 80abc^2de - 6ab^2d^2e + 144ab^2ce^2 - 27a^2d^4 + 144a^2cd^2e - 128a^2c^2e^2 - 192a^2bde^2 + 256a^3e^3$

Si$x_1, \ldots, x_n$son las raices de un polinomio$f$, es decir$f(x)=(x-x_1)\cdots (x-x_n)$, entonces el discriminante de$f$Se define como$\Delta=\prod_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$. Entonces$\Delta^2$es una expresión que es simétrica en el$x_i$, por lo tanto, se puede expresar usando los polinomios simétricos elementales , que son los coeficientes de$f$. Mientras$\Delta$nos dice algo sobre el comportamiento de las raíces (especialmente,$\Delta=0$si hay raíces múltiples), no es el final de la historia para grados polinómicos más altos. Como se ha insinuado en el comentario de abiessu, la teoría de Galois muestra que no existe ningún método general que utilice radicales para resolver los grados cinco y superiores.