¿Cómo me acerco a esta pregunta?

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¿Cómo me acerco a esta pregunta?

raíces
cuadráticas
Matemáticas
álgebra-precálculo

Elli

Dejar $a,b \in\Bbb N$ , $a$ no es igual a $b$ y las ecuaciones cuadráticas $(a-1)x^2 -(a^2 + 2)x +a^2 +2a=0$ y $(b-1)x^2 -(b^2 + 2)x +b^2 +2b=0$ tienen una raíz común, entonces el valor de $ab/5$ es

Así que lo que hice fue,

Resté las dos ecuaciones y obtuve

$x=(a+b+2)/(a+b)$ Traté de ponerlo en la ecuación, no funcionó, luego traté de agregar las ecuaciones y luego puse el valor, todavía no funcionó.

Parece que no puedo averiguar cómo abordar este problema. ¿Alguien puede ayudar?

Aravind Suresh Thakidayil

Si dos cuadráticas

a x^{2} + b x + c

$ax^2 + bx +c$ y

A x^{2} + B x^{2} + C

$Ax^2 + Bx^2 + C$ tienen una raíz en común, entonces

(A C - C A)^{2} = (a B - b A) (b C - B C)

$(Ac - cA)^2 = (aB-bA)(bC - Bc)$

Respuestas (3)

¿Cómo me acerco a esta pregunta?

Si dos cuadráticas $ax^2 + bx +c$ y $Ax^2 + Bx^2 + C$ tienen una raíz en común, entonces $(A C - C A)^{2} = (a B - b A) (b C - B C)$ $(Ac - cA)^2 = (aB-bA)(bC - Bc)$

jose carlos santos · Answer 1

Dejar $q_a(x)=(a-1)x^2-(a^2+2)x+a^2+2a$ . Cualquier raíz $r$ de $q_a(x)$ y de $q_b(x)$ también es raíz de

(b - 1) q_{a} (X) - (a - 1) q_{b} (X) = (- a^{2} b + a^{2} + a b^{2} + 2 a - b^{2} - 2 b) (X - 1) .

$(b-1)q_a(x)-(a-1)q_b(x)=\left(-a^2b+a^2+a b^2+2 a-b^2-2b\right)(x-1).$ Por lo tanto,

r = 1

$r=1$ o

\begin{matrix} (1) & - a^{2} b + a^{2} + a b^{2} + 2 a - b^{2} - 2 b = 0. \end{matrix}

$-a^2b+a^2+a b^2+2 a-b^2-2b=0.\tag1$ pero no puedes tener

r = 1

$r=1$ , porque

\begin{aligned} 1 es una raiz de q_{a} (X) & ⟺ q_{a} (1) = 0 \\ ⟺ 3 a - 3 = 0 \\ ⟺ a = 1. \end{aligned}

$\begin{align}1\text{ is a root of }q_a(x)&\iff q_a(1)=0\\&\iff3a-3=0\\&\iff a=1.\end{align}$ Así que si

1

$1$ era una raíz de ambos

q_{a} (x)

$q_a(x)$ y

q_{b} (x)

$q_b(x)$ , tendrías

a = b = 1

$a=b=1$ , pero usted está asumiendo que

a \neq b

$a\ne b$ .

Si por el contrario tienes $(1)$ , entonces $a=b$ o $a=\frac{b+2}{b-1}=1+\frac3{b-1}$ . Desde $a,b\in\Bbb N$ , esto sólo puede ocurrir en dos casos: cuando $b=2$ (en ese caso $a=4$ ) y cuando $b=4$ (en ese caso $a=2$ ). En ambos casos tienes $\frac{ab}5=\frac85$ .

dxiv · Answer 2

Pista: $\;t=a,b$ son las dos raíces de la cuadrática $\,(t-1)x^2-(t^2+2)x+t^2+2t=0\,$ por el valor de $\,x\,$ que es la raíz común.

estudiante solitario · Answer 3

Si te gusta usar las fórmulas de Vieta , aquí está la posible solución basada en estas fórmulas:

Asumiendo $x$ como coeficiente, se puede observar que, $a$ y $b$ son raíz de la cuadrática respecto a la variable $u:$

{tu}^{2} (1 - X) + tu (X^{2} + 2) - (X^{2} + 2 X) = 0, X \neq 1

$u^2(1-x)+u(x^2+2)-(x^2+2x)=0, ~ x≠1$

Entonces, usando las fórmulas de Vieta, tenemos

\begin{aligned} a b = \frac{X^{2} + 2 X}{X - 1} \\ ⟹ & X^{2} + X (2 - a b) + a b = 0 \\ ⟹ & X_{1} X_{2} = a b \end{aligned}

$\begin{align}&ab=\frac{x^2+2x}{x-1}\\ \implies &x^2+x(2-ab)+ab=0 \\ \implies &x_1x_2=ab\end{align}$

Entonces, también tenemos un respecto cuadrático a la variable $x:$

(a - 1) X^{2} - (a^{2} + 2) X + a^{2} + 2 a = 0, a \neq 1

$(a-1)x^2 -(a^2 + 2)x +a^2 +2a=0, ~ a≠1$

Desde $a≠0$ , aplicando de nuevo las fórmulas de Vieta, obtenemos

\begin{aligned} \frac{a^{2} + 2 a}{a - 1} = a b \\ ⟹ & b = \frac{a + 2}{a - 1} \\ ⟹ & b = 1 + \frac{3}{a - 1} \\ ⟹ & a \in {2, 4} \\ ⟹ & a b = 8 \\ ⟹ & \frac{a b}{5} = \frac{8}{5} . \end{aligned}

$\begin{align}&\frac{a^2+2a}{a-1}=ab\\ \implies &b=\frac{a+2}{a-1}\\ \implies &b=1+\frac{3}{a-1}\\ \implies &a\in\left\{2,4\right\}\\ \implies &ab=8 \\ \implies &\frac{ab}{5}=\frac 85. \end{align}$

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Aravind Suresh Thakidayil

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jose carlos santos

dxiv

Elli

estudiante solitario

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