¿Hay más cuadráticas con raíces reales o más con raíces complejas? ¿O lo mismo?

Considere todas las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales:

y = a X 2 + b X + C , a , b , C ∈ R , a ≠ 0

Me preguntaba si más de ellos tienen raíces reales, más tienen raíces complejas o el mismo número de cada uno.

Pensé en esto gráficamente, y wlog consideró solo los que tenían positivo. a . Al categorizar las cuadráticas por su punto mínimo, hay un número igual de mínimos posibles debajo de la X -eje como arriba, por lo que parece que hay un número igual de cuadráticas con raíces reales que complejas.

Sin embargo, luego consideré este problema algebraicamente usando el discriminante:

b 2 − 4 a C

Si a y C tienen signos opuestos, entonces el discriminante será positivo, por lo que el cuadrático tendrá raíces reales. Esto representa 50 % de las ecuaciones cuadráticas posibles.

Sin embargo, si a y C tienen el mismo signo, entonces algunas de estas cuadráticas tienen raíces reales, mientras que otras tienen raíces complejas dependiendo de si 4 a C es mayor que b 2 O no.

Esto sugiere que hay más cuadráticas con raíces reales que contradicen la respuesta anterior.

¿La razón por la que he llegado a respuestas contradictorias tiene que ver con infinitos, y que realmente no puedo compararlos de la forma en que lo hice anteriormente?

R ⊂ C
Es 1 4 × ∞ estrictamente menor que 3 4 × ∞ ?
También puedes argumentar que el número de polinomios con dos raíces reales es exactamente el mismo que el número de polinomios reales con raíces complejas. Esto se debe a los dos polinomios.
a X 2 + b X + C , − a X 2 − b X + C
uno será de un tipo y el otro de otro, así que los podéis emparejar, de dos en dos. Sin embargo, al final, si tienes dos conjuntos que son infinitamente grandes, decir que uno es el doble de grande que el otro no tiene sentido. Si uno es realmente más grande que el otro, entonces la proporción será tan grande que no tiene sentido ponerle un número.
Tal pregunta solo tiene sentido después de haber elegido una medida de probabilidad en el conjunto de todas las funciones cuadráticas, porque equivale a lo siguiente: ¿Cuál es la probabilidad de que una ecuación cuadrática "aleatoria" con coeficientes reales tenga raíces reales?
@Arturo No; sus dos cuadráticas son el reflejo de cada uno sobre y = C . Entonces es posible que ambos tengan raíces reales. Por ejemplo, con a = 1 , b = − 5 , C = 6 tus cuadráticas son X 2 − 5 X + 6 = ( X − 2 ) ( X − 3 ) y − X 2 + 5 X + 6 = − ( X + 1 ) ( X − 6 ) .

Respuestas (1)

Hay dos formas de escribir una ecuación cuadrática.

1) y = a X 2 + b X + C y 2) y = a ( X − h ) 2 + k

Ambos modelos tienen el mismo número de fórmulas cuadriáticas; es decir, la cardinalidad de R 3 .

Sin embargo, la distribución "aleatoria" da como resultado diferentes concentraciones cuando se representan como elementos correspondientes de R 3 y la "aleatoriedad" no está definida sin ambigüedades.

El modelo 2 tiene raíces reales si y solo si k no es positivo. Así que esa es una probabilidad de 1/2.

El modelo 1 tiene raíces si a y c son signos opuestos O si b 2 − a b ≥ 0 que es... no sé... es demasiado pronto y mi motivación no es lo suficientemente fuerte como para resolverlo, aunque sé que se puede hacer... pero es significativamente menos de la mitad.

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He aquí una forma de pensar al respecto.

Considerar X = R 3 sea ​​un espacio euclidiano de tres y puede elegir un punto al azar.

Ahora deja F ( a , b , C ) = ( a , − b / 2 , C − b 2 / 4 ) . Este es un mapa biyectivo 1-1.

Dejar Y = F ( X ) = R 3 .

Ambos X y Y tienen exactamente la misma forma con exactamente el mismo número de puntos. Pero si eliges un punto de uno y miras el punto correspondiente en el otro, parecerá que el espacio y la concentración se han "distorsionado" y que la "aleatoriedad" en uno no es lo mismo que la aleatoriedad en el otro.

La resolución me parece que "aleatorio" y "probabilidad" no es tan simple o intuitivo como pensábamos y, como se dijo, la "probabilidad" de que una cuadrática tenga raíces reales no es en realidad una pregunta bien definida. ... hasta ahora.

¿Hay más cuadráticas con raíces reales o más con raíces complejas? ¿O lo mismo?
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