Pregunta muy básica sobre AdS/CFT

Aquí hay una respuesta a la pregunta de por qué el$AdS_5\times S^5$aparece la métrica. Esto está tomado casi directamente de las conferencias TASI que cito al final.

Si considera N Dp-branas coincidentes, la solución de fondo tiene una métrica y una dilatación que podemos escribir como

$$ds^2 = H^{-1/2}(r)\left[-f(r)dt^2 +\sum_{i=1}^p(dx^i)^2\right]+H^{1/2}(r)\left[f^{-1}(r) dr^2+r^2 d\Omega_{8-p}^2\right]$$ $$e^{\Phi}=H^{(3-p)/4}(r)$$ con los factores warp $$H(r)=1+\frac{L^{7-p}}{r^{7-p}}, \quad f(r)=1-\frac{r_0^{7-p}}{r^{7-p}}$$ Si lo tomas $p=3$, tal que ahora está considerando una pila de D3-branas y, además, toma el llamado límite extremo ( $r_0\rightarrow 0$), entonces esta métrica se vuelve idéntica a la que está preguntando. esto no es del todo $AdS_5\times S^5$todavía. Todo lo que necesitas hacer ahora es tomar el límite $\frac{r}{L}\rightarrow 0$y te quedarás con nada menos que $$ds^2=\frac{L^2}{z^2}(-dt^2+d\vec{x}^2+dz^2)+L^2 d\Omega_5^2$$ que es la métrica habitual para $AdS_5\times S^5$.

Referencias: "Conferencias TASI: Introducción a la correspondencia AdS/CFT", https://arxiv.org/abs/hep-th/0009139

Primero, por$S$-dualidad de Tipo IIB, siempre es posible mantener$g_s<1$. Vamos a hablar de una pila de$N$D3-branas en dos situaciones:

1. $Ng_s$pequeño: la pila no deformará el fondo, y solo lo perturbará. Estas perturbaciones se describen mediante el acoplamiento de D3-branas y estados de cuerdas cercanas. Recuerde que los estados de cuerdas cercanas son duales a una pequeña perturbación del fondo por la correspondencia estado-operador.

2. $Ng_s$grande: la pila crea una gran concentración de energía por longitud de tal manera que, incluso con un acoplamiento de cuerda pequeño, es capaz de deformar el fondo y no solo perturbarlo. La supersimetría corrige completamente la configuración de fondo en orden de avance en$\alpha '$. Esta configuración de fondo se conoce como$3$-solución de brana negra.

La idea de dualidad N grande es conjeturar que ambas descripciones son descripciones complementarias de un mismo sistema físico. En particular, en el límite de desacoplamiento, donde los grados de libertad del apilamiento se desacoplan de la gravedad.

En la primera descripción anterior, el límite de desacoplamiento es obvio (truncado a algunos estados de cadenas abiertas), mientras que en la segunda no lo es tanto. De hecho, en la segunda descripción, el límite de desacoplamiento se entiende como un límite de horizonte cercano. El horizonte está infinitamente lejos de los observadores sentados al comienzo de la garganta, por lo que este límite es como profundizar en la garganta. El espacio-tiempo allí parece un$AdS_{5}\times S^{5}$. Entonces, por la gran conjetura de dualidad N, esto significa que las cuerdas abiertas de una pila de D3-branas, en el límite de desacoplamiento, son duales a la supercuerda Tipo IIB en el$AdS_{5}\times S^{5}$.

Ahora bien, para obtener fórmulas concretas de esta dualidad es interesante tomar un sistema de$N+n$D3-branas, con$n$mucho más pequeño que$N$. Luego moviendo el$n$ $D3$-branes lejos de la pila de$N$ $D3$-branes no cambiará la deformación de fondo en la segunda descripción (la de$Ng_s$grande) desde$ng_S$es mucho más pequeño que$Ng_s$. Estas son conocidas como sondas D3-brane.