Curvatura geodésica y transformaciones de Weyl

Cuando decimos que son vectores unitarios, queremos decir que la longitud propia es igual a uno. Las longitudes propias de los dos vectores son

$$\gamma_{ab} t^a t^b=1,\quad \gamma_{ab}n^a n^b=1$$ y debe ser igual a uno, es decir $1\to 1$, en todo momento. (En la firma de Minkowski, una de estas longitudes al cuadrado es menos uno, pero eso no cambiará nada sobre el texto a continuación). Porque $$\gamma_{ab}\to e^{2\omega} \gamma_{ab}$$ pero la suma de productos tiene que seguir siendo uno, está claro que este extra $\exp(2\omega)$el factor tiene que ser cancelado, y necesitamos $t^a\to e^{-\omega}t^a$. Elegimos dos de esos factores. $n^a$se transforma de la misma manera, $$n^a \to e^{-\omega} n^a$$ pero si bajamos los índices, tenemos $$n_b = \gamma_{ab}n^a \to e^{2\omega} \gamma_{ab} e^{-\omega} n^a = e^{+\omega} \gamma_{ab}n^a = e^\omega n^b$$