Marco de cuerda y marco de Einstein para una Dp-brana

La acción eficaz de baja energía para$N$D$p$-branes en el marco de la cuerda es

$$S_\text{eff} = \frac{1}{16\pi G_{10}}\int d^{10}x \sqrt{-g}\ e^{-2\phi}(R+ 4(\partial\phi)^2+\cdots)$$

dónde$R$es la curvatura de Ricci de$g$y$\phi$es el dilaton. Hay otros términos relacionados con un tensor antisimétrico, pero no me interesan.

Esto nos da la métrica:

$$ds^2 = H^{-1/2} (-dt^2 + dx^2_p) + H^{1/2} (dr^2 + r^2d\Omega_{8-p}^2)$$

y la dilatacion

$$e^{-2\phi} = H^{\frac{p-3}{2}}$$

con

$$H(r) = 1 + \left(\frac{R}{r}\right)^{7-p} .$$

Si quiero obtener la métrica de Einstein, necesito hacer una transformación de Weyl adecuada, en ese caso

$$g_{\mu\nu}\mapsto g^E_{\mu\nu} = e^{\phi/2}g_{\mu\nu}$$

Mi pregunta es, en esta transformación tengo que poner$H^{\frac{p-3}{8}}$(el dilaton que escribí arriba) o necesito calcular un nuevo dilaton con la nueva acción?