Derivación del parche de Poincaré a partir de coordenadas globales en AdS33_{3}

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Derivación del parche de Poincaré a partir de coordenadas globales en AdS33_{3}

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Física
tensor-métrico
gravedad cuántica
relatividad general
anti-de-sitter-espacio-tiempo

de pesadilla

He estado leyendo las notas de la conferencia de Thomas Hartman sobre la gravedad cuántica y los agujeros negros.

En la página 97, deriva (9.4), que es la métrica de AdS $_{3}$ en coordenadas globales:

d s^{2} = ℓ^{2} (- {aporrear}^{2} ρ d t^{2} + d ρ^{2} + {pecado}^{2} ρ d ϕ^{2}) .

$ds^{2} = \ell^{2}(-\cosh^{2}\rho\ dt^{2} + d\rho^{2} + \sinh^{2}\rho\ d\phi^{2}).$

En la página 100, afirma que, al expandir la métrica en general $r$ bajo el cambio de coordenadas

\begin{aligned} t^{\pm} = t \pm ϕ, ρ = registro (2 r), \end{aligned}

$\begin{align} t^{\pm} = t \pm \phi, \qquad \rho = \log(2r), \end{align}$ podemos mostrar que, en orden adelantado , la métrica inducida en el hiperboloide AdS

_{3}

$_{3}$ se convierte

\begin{aligned} d s^{2} = ℓ^{2} (\frac{d r^{2}}{r^{2}} - r^{2} d t^{+} d t^{-}) . \end{aligned}

$\begin{align} ds^{2} = \ell^{2} \left(\frac{dr^{2}}{r^{2}}-r^{2}dt^{+}dt^{-}\right). \end{align}$

Encuentro, bajo el cambio de coordenadas, que

\begin{aligned} d s^{2} = ℓ^{2} (\frac{d r^{2}}{r^{2}} - \frac{1}{4} d t^{+ 2} - (r^{2} + \frac{1}{dieciséis r^{2}}) d t^{+} d t^{-} - \frac{1}{4} d t^{- 2}) . \end{aligned}

$\begin{align} ds^{2} = \ell^{2} \left(\frac{dr^{2}}{r^{2}} - \frac{1}{4}dt^{+2} - \left(r^{2} + \frac{1}{16r^{2}} \right) dt^{+}dt^{-} - \frac{1}{4}dt^{-2} \right). \end{align}$

Por supuesto, el término en $1/r^{2}$ cae en general $r$ , pero no puedo deshacerme de los componentes en $dt^{+2}$ y $dt^{-2}$ . ¿Me estoy perdiendo de algo?

Luego continúa mencionando que estas son coordenadas de Poincaré, pero no hace contacto con la forma habitual en que la métrica de AdS $_{3}$ está escrito en coordenadas de Poincaré:

d s^{2} = \frac{ℓ^{2}}{z^{2}} (d z^{2} - d t^{2} + d {\vec{X}}^{2}) .

$ds^{2} = \frac{\ell^{2}}{z^{2}}(dz^{2}-dt^{2}+d\vec{x}^{2}).$

¿Que me estoy perdiendo aqui?

usuario2309840

Puede probar el apéndice B de insti.physics.sunysb.edu/~cpherzog/stringtheory/AdSCFT.pdf . En respuesta a su primera pregunta, probablemente esté diciendo que

d t_{\pm}^{2}

$dt_\pm^2$ es pequeño en comparación con

r^{2} d t_{+} d t_{-}

$r^2 dt_+ dt_-$ . En respuesta a la segunda, debe haber relaciones

r \sim 1 / z

$r \sim 1/z$ y

t_{\pm} = t \pm x

$t_\pm = t \pm x$ .

Respuestas (1)

Derivación del parche de Poincaré a partir de coordenadas globales en AdS33_{3}

Puede probar el apéndice B de insti.physics.sunysb.edu/~cpherzog/stringtheory/AdSCFT.pdf . En respuesta a su primera pregunta, probablemente esté diciendo que $dt_\pm^2$ es pequeño en comparación con $r^2 dt_+ dt_-$ . En respuesta a la segunda, debe haber relaciones $r \sim 1/z$ y $t_\pm = t \pm x$ .

donnydm · Answer 1

Es probable que redujera los términos por debajo de $O(r)$ (excepto el $dr^2$ plazo), haciendo que su $dt^\pm$ términos, $O(1)$ , desaparecer He obtenido un resultado ligeramente diferente pero con un resultado común. usé la transformación

d t^{2} = (d t^{+} - d ϕ) (d t^{-} - ϕ) = d t^{+} d t^{-} + d ϕ^{2}

$\begin{equation} dt^2=(dt^+-d\phi)(dt^--\phi)=dt^+dt^-+d\phi^2 \end{equation}$ lo que me lleva a la métrica

d s^{2} = {yo}^{2} (\frac{d r^{2}}{r^{2}} - (r^{2} + \frac{1}{dieciséis r^{2}} + \frac{1}{2}) d t^{+} d t^{-} - d ϕ^{2}) .

$\begin{equation} ds^2=l^2\left(\frac{dr^2}{r^2}-\left(r^2+\frac{1}{16r^2}+\frac{1}{2}\right)dt^+dt^--d\phi^2\right). \end{equation}$ Cortar los términos pequeños a continuación

O (r)

$O(r)$ te llevará a la respuesta correcta. Esto es, de hecho, en forma de coordenada de Poincaré :

d s^{2} = α^{2} (\frac{d {tu}^{2}}{{tu}^{2}} + {tu}^{2} (d X^{m} d X_{m})) .

$\begin{equation} ds^2=\alpha^2\left(\frac{du^2}{u^2}+u^2(dx^\mu dx_\mu)\right). \end{equation}$

Derivación del parche de Poincaré a partir de coordenadas globales en AdS33_{3}

de pesadilla

usuario2309840

Respuestas (1)

donnydm

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