Acción de Chern-Simons para volumen mundial de brana no abeliana y prescripción de trazas simétricas de Tsetlyn

Estoy tratando de reproducir los resultados del (famoso) artículo de Myer "Dielectric Branes" https://arxiv.org/abs/hep-th/9910053 . Estoy luchando un poco para obtener los factores numéricos en las ecuaciones. Cuando explica el estado ligado D0-D2 en términos de una pila de branas D0, por lo tanto, la prescripción no abeliana, descompone el término de Chern-Simons de la siguiente manera en su ecuación (67a),

$${\rm Tr}\left(\Phi^j\Phi^i[\Phi^k~\partial_k C_{ijt}^{(3)}(t)+ C_{ijk}^{(3)}(t)~D_t\Phi^k]\right) \tag{67a}$$ Estoy asumiendo que el $Tr(...)$el símbolo aquí es en realidad la descripción de la traza simétrica de Tsetlyn, $$\text{STr}(A_1...A_n)=\frac1{n!}(A_1...A_n+\text{all possible permutations}),$$ que se supone que debe capturar $\alpha'$correcciones en la D no abeliana $p$-Acción brana hasta el orden cuatro o así. Mi problema es el siguiente: Se supone que la ecuación (67) es igual a $$\frac{1}{3} {\rm Tr}(\Phi^i\Phi^j\Phi^k)~ F_{tijk}^{(4)}(t), \tag{67b}$$ Para obtener (67b), tienes que darte cuenta de que $\partial_k C_{ijk}(t)=0$desde $k$son coordenadas espaciales y $C^{(3)}$solo depende del tiempo, y luego haces una integración parcial sobre el otro término, lo que (dice yo) lleva a $$\text{Tr}(\Phi^i\Phi^j\Phi^k)F_{tijk}^{(4)}.$$ entonces digo que esto $1/3$probablemente proviene de la prescripción de trazas simetrizadas, pero no veo cómo, ya que creo que $$\text{STr}[\Phi^i\Phi^j\Phi^k F_{tijk}^{(4)}]=0,$$ por los índices $F_{tijk}$es antisimétrica en $i,j,k$. Tal vez este factor $1/3$viene de otro lado?