Teoría de cuerdas y una idea de "estructura cuántica del espacio-tiempo"

Puede comenzar estudiando la acción de Polyakov para la cuerda en una métrica de fondo plana$\eta_{\mu\nu}$

$$S_P = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}$$ y encuentra que la cuerda cerrada contiene una excitación sin masa identificada con el gravitón. Un espaciotiempo curvo puede interpretarse como un estado coherente de gravitones (analogía: una configuración de campo láser es un estado coherente de fotones), por lo que con las excitaciones de gravitones, en general, deberíamos considerar una cuerda en un espaciotiempo curvo con métrica $G_{\mu\nu}(X)$: $$S_\sigma = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu G_{\mu\nu}(X).$$ Ahora podría preguntarse por qué está justificado simplemente cambiar la métrica del espacio de destino. Pero si considera una métrica que es casi plana, puede expandir $$G_{\mu\nu}(X)=\eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}(X)$$ donde $\chi_{\mu\nu}(X)$es una pequeña perturbación. Para la integral de trayectoria de hoja universal, esto equivale a $$Z=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_\sigma)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X)+\cdots\right)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-V+\frac{1}{2}V^2\cdots\right)$$ donde denoto $$V=\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X).$$ Para $\chi_{\mu\nu}=g_c \zeta_{\mu\nu}\mathrm{e}^{ik\cdot X}$este es el operador de vértice para una onda de gravitón plano, pero más general $\chi$se podría considerar. Un solo operador de vértice $V$daría un solo estado de gravitón pero insertando el exponencial como aquí, $\exp(V)$, corresponde a un estado coherente de gravitones, que al retroceder en los argumentos anteriores corresponde a cambiar $$\eta_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}=G_{\mu\nu}.$$ En conclusión: al escribir la acción de una cuerda en un espacio-tiempo curvo, hemos insertado implícitamente un estado coherente de gravitones, de modo que la métrica curva de fondo está construida por gravitones cuantizados.

Si continúas estudiando el modelo sigma$S_\sigma$, encontrará que el requisito de invariancia conforme (a través del estudio de la$\beta$-función) es que el espacio de destino es Ricci plano

$$\mathcal{R}_{\mu\nu}=0,$$ es decir, da las ecuaciones de Einstein en el vacío. Agregar el campo de Kalb-Ramond y la dilatación a la acción dará contribuciones a las ecuaciones de Einstein.