Integración con números complejos de Grassmann

La integración de números de Grassman no funciona de forma ingenua. Es exactamente lo opuesto a la forma ingenua. Considerar

$$\int d\eta\, \eta =1$$ Bajo el cambio de variables$\eta=2\eta_1$, la expresión principal se convertiría ingenuamente $$\int d(2\eta_1)\, (2\eta_1) =4\int d\eta_1 \eta_1=4\neq 1.$$ Entonces, para hacer que las integrales de Grassman sean consistentes bajo el cambio de variables$\eta=A\eta'$(aquí$\eta=(\eta_1, \eta_2,...,\eta_n)$), hay que dividir la integral por el jacobiano, en lugar de multiplicar, a diferencia del caso de la integración regular. En otras palabras $$\int d\eta_1 d\eta_2... d\eta_n f(\eta) =\frac{1}{\det{A}}\int d\eta_1'd\eta_2'...d\eta_n' f(A\eta').$$ En tu caso significaría $$d\theta^*d\theta\rightarrow\frac{1}{i}d\theta_1d\theta_2.$$

La respuesta ya publicada por Pavlo B. no está mal, pero creo que oscurece el elemento más importante de la explicación.

Ha asumido implícitamente que puede simplemente aplicar una operación lineal para hacer un diferencial a partir de un número complejo de Grassmann. Sin embargo, esto no es correcto. Considere, simplemente

$$1=\int d\theta\,\theta$$ para una variable de Grassmann de valor complejo $$\theta=\frac{\theta_{1}+i\theta_{2}}{\sqrt{2}}.$$ Es natural esperar que la medida de integración$d\theta$debería ser simplemente $$d\theta=\frac{d\theta_{1}+i\,d\theta_{2}}{\sqrt{2}},$$ ¡pero esto está mal!

Que esto no puede ser correcto se puede ver simplemente expandiendo la expresión que resultaría si esto fuera correcto.$d\theta$:

$$\frac{1}{2}\int(d\theta_{1}+i\,d\theta_{2})(\theta_{1}+i\theta_{2})=\frac{1}{2}\left[\int d\theta_{1}\,\theta_{1}+i\int d\theta_{1}\,\theta_{2}+i\int d\theta_{2}\,\theta_{1}+i^{2}\int d\theta_{2}\,\theta_{2}\right].$$ Los términos cruzados con$\int d\theta_{1}\,\theta_{2}$y$\int d\theta_{2}\,\theta_{1}$son cero, entonces lo que queda es $$\frac{1}{2}\int(d\theta_{1}+i\,d\theta_{2})(\theta_{1}+i\theta_{2})=\frac{1}{2}\left[\int d\theta_{1}\,\theta_{1}-\int d\theta_{2}\,\theta_{2}\right]=0.$$ Claramente, algo ha ido mal.

De hecho, para tener$\int d\theta\,\theta=1$, en cambio, debe darse el caso de que

$$d\theta=\frac{d\theta_{1}-i\,d\theta_{2}}{\sqrt{2}}.$$ Hay un conjugado extra complejo que aparece en esta expresión. (Alternativamente, el marcador diferencial$d$actúa de forma antilineal en números de Grassmann de valores complejos.) El signo menos adicional en$d\theta$invierte el signo del término con el$i^{2}$en el cálculo anterior, que lo cambia a una expresión correcta. Además, esto es exactamente lo que se necesitaba para solucionar el problema de la señal que notó. Combinando lo correcto$d\theta$con su complejo conjugado, $$d\theta^{*}=\frac{d\theta_{1}+i\,d\theta_{2}}{\sqrt{2}}$$ (que obviamente satisface$\int d\theta^{*}\,\theta^{*}=1$), obtienes, en lugar de lo que tenías en tu pregunta, $$d\theta^{*}\,d\theta=-i\,d\theta_{1}\,d\theta_{2},$$ y el signo negativo extra arregla las cosas.