¿Desigualdad de Cauchy-Schwarz para integrales de Grassmann?

Para funciones cuadradas integrables F , gramo de una variable real, la desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que

( ∫ F ( X ) gramo ( X ) d X ) 2 ≤ ∫ F ( X ) 2 d X ∫ gramo ( X ) 2 d X .

Mi pregunta es: ¿hay análogos conocidos de esto para funciones de variables de Grassmann (o mixtas)?

Como primera verificación, veamos qué sucede con las funciones de una sola variable de Grassmann ξ . Las funciones F y gramo son entonces de la forma

F ( ξ ) = F 0 + F 1 ξ gramo ( ξ ) = gramo 0 + gramo 1 ξ .
Calculando el lado izquierdo de nuestro "Fermionic Cauchy Schwarz" tentativo tenemos
( ∫ F ( ξ ) gramo ( ξ ) d ξ ) 2 = ( ∫ d ξ F 0 gramo 0 + ( gramo 0 F 1 + F 0 gramo 1 ) ξ d ξ ) 2 = gramo 0 2 F 1 2 + 2 F 0 gramo 0 F 1 gramo 1 + F 0 2 gramo 1 2
mientras que en el lado derecho tenemos
∫ F ( ξ ) 2 d ξ ∫ gramo ( ξ ) 2 d ξ = ∫ F 0 2 + 2 F 0 F 1 ξ d ξ ∫ gramo 0 2 + 2 gramo 0 gramo 1 ξ d ξ = 4 F 0 gramo 0 F 1 gramo 1 .
Juntando los dos lados, tomando a = gramo 0 F 1 y b = F 0 gramo 1 tenemos
gramo 0 2 F 1 2 + 2 F 0 gramo 0 F 1 gramo 1 + F 0 2 gramo 1 2 ≤ ? 4 F 0 gramo 0 F 1 gramo 1 gramo 0 2 F 1 2 + F 0 2 gramo 1 2 ≤ ? 2 F 0 gramo 0 F 1 gramo 1 a 2 + b 2 ≤ ? 2 a b a 2 + b 2 ≥ ! 2 a b
¡Entonces el "Fermiónico Cauchy Schwarz" es solo la desigualdad elemental de Young! No es de extrañar que el fermiónico Cauchy Schwarz vaya en la otra dirección, que encaja con la experiencia habitual de Grassmann como "matemáticas normales, pero al revés y en un espejo".

Hasta ahora, mis intentos de extender esto a funciones mixtas no han tenido éxito con la excepción de funciones de una variable supersimétrica (digamos z = X 2 + y 2 + 2 ξ η ), que trivialmente da la igualdad F ( 0 ) 2 gramo ( 0 2 ) = F ( 0 ) 2 gramo ( 0 ) 2 .

De hecho, incluso intentar el cálculo anterior con solo dos variables de Grassmann conduce a una expresión que no es una desigualdad en ninguna dirección. La esperanza es que tal vez esto se pueda arreglar cuando se trabaja con la clase de funciones "correcta", por ejemplo, funciones analíticas de una sola variable aplicada a una variable de Grassmann, o el producto de una función real con una función analítica de una variable bosónica supersimétrica.

Si alguien conoce alguna referencia/camino a seguir/obstrucciones fundamentales a la idea, se lo agradecería mucho.

Respuestas (2)

Esto parece un ejercicio inútil.

  1. En primer lugar, suponemos que F y gramo llevan la paridad de Grassmann definida. (Esta es una suposición estándar en supermatemáticas).

  2. Si asumimos que F es impar de Grassmann, entonces F 2 = 0 , es decir, la construcción nace muerta.

  3. Así que supongamos a partir de ahora que F ( θ ) = F 0 + θ F 1 y gramo ( θ ) = gramo 0 + θ gramo 1 son funciones pares de Grassmann de un indeterminado impar de Grassmann θ . En otras palabras, F 0 , gramo 0 son pares de Grassmann y F 1 , gramo 1 son Grassmann-impares.

  4. Entonces la integral de Berezin I = ∫ d θ   F ( θ ) gramo ( θ ) es Grassmann-impar, y por lo tanto el cuadrado I 2 = 0 , es decir, la construcción vuelve a nacer muerta.

  5. Además, ∫ d θ   F ( θ ) 2 ∫ d θ ′   gramo ( θ ′ ) 2 es un producto de dos supernúmeros impares de Grassmann, es decir, es un supernúmero par de Grassmann valorado en el alma, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . No está claro cómo introducir un pedido. ≤ entre los supernúmeros pares de Grassmann valorados por el alma y, de manera más general, cómo interpretar los supernúmeros valorados por el alma.

Gracias por la ayuda, pero no creo que esto sea correcto. 1. Sí, si f es impar, entonces ciertamente f^2 es 0. 2. Supongo que podemos suponer esto, pero si f y g tienen componentes pares e impares, entonces tanto impar(f)impar(g) como par( f) los términos pares (g) contribuirán a la integral en el LHS (asumiendo que hay más de 1 variable de Grassmann, por supuesto). 3. Después de integrar todos los componentes de Grassmann, siempre nos queda algo que es real, por lo que ciertamente no cuadrará a cero en general (ver mi ejemplo). 4. De nuevo, int(f^2)int(g^2) siempre será real, ni siquiera grassmann.
Actualizo la respuesta. Tenga en cuenta que los números han cambiado.
Todavía queda el problema con 4 y 5. La integración de Berezin siempre produce un número real, no un número de Grassmann, después de que se hayan integrado todos los términos.
Creo que hay cierta confusión sobre los tipos de funciones que me interesan: solo estoy considerando funciones reales aplicadas a variables de Grassmann para que la integración de Berezin produzca un número real y no un supernúmero.
Ajá. Entonces F , gramo genéricamente no llevaría la paridad de Grassmann definida.
Entonces, nuevamente, con 4 y 5, estoy considerando solo lo que sucede después de integrar todos los términos de Grassmann. Como dices, no tiene sentido considerar lo que sucede si solo integramos uno solo.

OK, parece que OP requiere adicionalmente que los coeficientes (de un superpolinomio) pertenezcan al cuerpo R (más que el alma).

  1. Se puede demostrar que la desigualdad de Cauchy-Schwarz (CS) opuesta (!) de OP

    (1) ( ∫ d norte θ   F ( θ ) gramo ( θ ) ) 2   ≥   ∫ d norte θ   F ( θ ) ∫ d norte θ ′   gramo ( θ ′ )
    se mantiene si ambos F ( θ ) y gramo ( θ ) son una suma de ≤ 2 monomios _ Ej. ineq. (1) se sostiene con norte = 2 y
    (2) F ( θ )   =   F 0 + θ 1 θ 2 F 3 , gramo ( θ )   =   gramo 0 + θ 1 θ 2 gramo 3 , F 0 , F 3 , gramo 0 , gramo 3   ∈   R .
    Desigualdad (1) no se cumple para polinomios más generales.

  2. Otra idea es definir una forma sesquilineal

    (3) ⟨ F , gramo ⟩   ∝   ∫ d norte θ ′   F ( θ ) ¯ ∧ ⋆ gramo ( θ ) ,
    con la ayuda del operador estrella de Hodge ⋆ (incluidos los factores de signo apropiados). Esto satisfará automáticamente una desigualdad CS habitual . (Aquí suponemos que las indeterminadas de Grassmann θ i Son reales.)

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