Pregunta ingenua sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Primero, una corrección. La primera fórmula es la probabilidad, no la amplitud de probabilidad.

Y se calcula solo en el orden principal, "linealizado" en cierto sentido, por lo que, por supuesto, es solo una buena aproximación para$P_{f\leftarrow i}\ll 1$. Cuando la probabilidad se vuelve comparable a uno, las correcciones de subdirección y de orden superior se vuelven importantes porque también se debe estudiar cómo los coeficientes recién creados frente a otros estados, estados ausentes en el estado inicial, cambian con la evolución del tiempo.

La teoría de la perturbación siempre se vuelve inadecuada cuando la perturbación, en este caso el elemento de la matriz$\langle f |V|i\rangle$, Es demasiado largo. Pero uno debe entender correctamente lo que significa "demasiado grande". y significa$P_{f\leftarrow i} \geq O(1)$que es equivalente a$\langle f |V|i\rangle \cdot \Delta t \geq O(\hbar)$. Para transiciones en$\omega_{fi}\to 0$, el requisito de "qué tan pequeño debe ser el elemento de la matriz de perturbaciones" simplemente se vuelve más difícil, el límite superior se vuelve más pequeño. Otra forma equivalente de decirlo: para que la teoría de la perturbación esté bien, debe tener$\Delta t\ll \hbar / \langle f |V|i\rangle$.

Sin embargo, su tratamiento tiene un problema más. Bueno, uno de dos problemas. Si considera la transición a un estado final discreto que simplemente tiene una energía finita, está tratando con una teoría de perturbación degenerada y primero debe rediagonalizar$H_0+V$en este subespacio de Hilbert, para descubrir que los estados propios de energía reales difieren del estado inicial original y sus energías realmente difieren.

Si considera una transición a un estado final que pertenece a un continuo, entonces le interesa la probabilidad integrada sobre$\omega_f$, de todos modos, y en ese caso,$\sin^2 Y / Y^2$puede aproximarse mediante un múltiplo de la función delta que impone la ley de conservación de energía "ingenua". Consulte, por ejemplo, este documento para obtener una introducción al método. Mi desigualdad aparece como (11.40) en la página 104.