¿La regla de oro de Fermi y la probabilidad infinita?

Question

¿La regla de oro de Fermi y la probabilidad infinita?

Física
probabilidad
aproximaciones
mecánica cuántica
regla-de-oro-de-fermis
teoría de la perturbación

Espaguetificación cuántica

Estoy un poco confundido acerca de la aplicación de la regla de oro de Fermi . Que durante las derivaciones estándar indica una probabilidad de transición del estado $|i \rangle$ al Estado $|f\rangle$ de:

PAG = \frac{2 π t}{ℏ^{2}} | ⟨ F | \hat{V} | i ⟩ |^{2} d ({mi}_{F} - {mi}_{i} - ℏ ω)

$P=\frac{2\pi t}{\hbar^2} | \langle f | \hat V | i \rangle|^2 \delta(E_f-E_i-\hbar \omega)$ Esto es válido para valores grandes de

t

$t$ pero para valores arbitrariamente grandes de

t

$t$ :

PAG > 1

$P>1$ Lo cual (para mí de todos modos) no tiene sentido físico ya que no puede haber una probabilidad mayor que 1 de estar en el estado final. Si mi interpretación es correcta, ¿cómo se resuelve/permite este problema? y si está mal, ¿qué parte de lo que he dicho está mal?

AccidentalFourierTransformar

El FGR se obtiene usando TDPT. Si sigue los pasos con cuidado, verá que los términos olvidados están en regla

{\hat{V}}^{2}

$\hat V^2$ y

t^{2}

$t^2$ , por lo que la aproximación solo es válida para valores pequeños de

t

$t$ . Se obtiene una aproximación mucho mejor despreciando

{\hat{V}}^{2}

$\hat V^2$ pero manteniendo

t

$t$ arbitrario. El resultado es algo como

P \sim \exp [w_{i f} t] - 1

$P\sim\exp[w_{if}t]-1$ , dónde

w_{i f} \propto | ⟨ f | V | i ⟩ |^{2}

$w_{if}\propto |\langle f|V|i\rangle|^2$ . Si se expande a primer orden en

t

$t$ , recuperas la FGR. Esto se analiza a fondo en cualquier libro sobre TDPT y en la mayoría de los libros sobre QM.

Espaguetificación cuántica

@AccidentalFourierTransform Pero solo obtendría la forma de la probabilidad que he dado en el supuesto de que

t

$t$ es muy grande. Esto se debe a que hay un uso de la aproximación equivalente a

\underset{t \to \infty}{límite} (\frac{{pecado}^{2} (X t)}{X^{2}}) = π t d (X)

$\lim_{t\rightarrow \infty} \left( \frac{\sin^2(xt)}{x^2}\right)=\pi t \delta(x)$

AccidentalFourierTransformar

Eso es algo demasiado simplificado. Hay varias suposiciones sobre la magnitud de

t

$t$ . Debe ser menor que algunas constantes y mayor que otras. No recuerdo los detalles en este momento, pero las suposiciones están en la línea de

τ ≪ t ≪ T

$\tau\ll t\ll T$ para algunas constantes

τ, T

$\tau,T$ .La parte

t ≫ τ

$t\gg \tau$ se necesita para obtener el delta, pero la restricción

t ≪ T

$t\ll T$ significa que no puedes tomar

t \to \infty

$t\to\infty$ . Estos supuestos no son verdaderamente fundamentales pero simplifican el análisis. Si no restringes la magnitud de

t

$t$ obtienes la exponencial de la que estaba hablando. Nuevamente, esto se aborda en la mayoría de los libros sobre TDPT.

Espaguetificación cuántica

@AccidentalFourierTransform Si pone sus comentarios como respuesta, lo aceptaré. Además, solo cabe destacar que creo que esta respuesta physics.stackexchange.com/q/91794 de Qmechanic's responde a mi pregunta (aunque posiblemente no sea la pregunta en la que se publicó).

Respuestas (1)

¿La regla de oro de Fermi y la probabilidad infinita?

El FGR se obtiene usando TDPT. Si sigue los pasos con cuidado, verá que los términos olvidados están en regla $\hat V^2$ y $t^2$ , por lo que la aproximación solo es válida para valores pequeños de $t$ . Se obtiene una aproximación mucho mejor despreciando $\hat V^2$ pero manteniendo $t$ arbitrario. El resultado es algo como $P\sim\exp[w_{if}t]-1$ , dónde $w_{if}\propto |\langle f|V|i\rangle|^2$ . Si se expande a primer orden en $t$ , recuperas la FGR. Esto se analiza a fondo en cualquier libro sobre TDPT y en la mayoría de los libros sobre QM.
@AccidentalFourierTransform Pero solo obtendría la forma de la probabilidad que he dado en el supuesto de que $t$ es muy grande. Esto se debe a que hay un uso de la aproximación equivalente a $\underset{t \to \infty}{límite} (\frac{{pecado}^{2} (X t)}{X^{2}}) = π t d (X)$ $\lim_{t\rightarrow \infty} \left( \frac{\sin^2(xt)}{x^2}\right)=\pi t \delta(x)$
Eso es algo demasiado simplificado. Hay varias suposiciones sobre la magnitud de $t$ . Debe ser menor que algunas constantes y mayor que otras. No recuerdo los detalles en este momento, pero las suposiciones están en la línea de $\tau\ll t\ll T$ para algunas constantes $\tau,T$ .La parte $t\gg \tau$ se necesita para obtener el delta, pero la restricción $t\ll T$ significa que no puedes tomar $t\to\infty$ . Estos supuestos no son verdaderamente fundamentales pero simplifican el análisis. Si no restringes la magnitud de $t$ obtienes la exponencial de la que estaba hablando. Nuevamente, esto se aborda en la mayoría de los libros sobre TDPT.
@AccidentalFourierTransform Si pone sus comentarios como respuesta, lo aceptaré. Además, solo cabe destacar que creo que esta respuesta physics.stackexchange.com/q/91794 de Qmechanic's responde a mi pregunta (aunque posiblemente no sea la pregunta en la que se publicó).

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Esta pregunta se ha discutido en la sección de comentarios, y OP ya encontró la respuesta en esta maravillosa publicación de QMechanic. En ese post, podemos ver claramente que la magnitud de $t$ no es arbitrario: tiene que estar delimitado tanto por debajo como por arriba,

\frac{2 π}{Δ ω} ≲ t ≪ \frac{ℏ}{\underset{F \in F}{sorber} | V_{F i} |}

$\frac{2\pi}{\Delta \omega} \lesssim t \ll \frac{\hbar}{\sup_{f\in F}|V_{fi}|}$ donde los símbolos se definen en la publicación de QMechanic. Esta es la razón por la que no podemos tomar

t \to \infty

$t\to \infty$ .

Es inútil reproducir aquí el post de QMechanic, o intentar mejorarlo. En su lugar, trataré de abordar mi afirmación de que, si mantenemos la magnitud de $t$ arbitraria, entonces la probabilidad de transición es exponencial.

En la demostración habitual de la FGR encontramos, en algún punto, la ecuación integrodiferencial

C_{i} (t) = 1 - i \sum_{norte} \int_{0}^{t} C_{norte} (τ) V_{norte i} (τ) {mi}^{- i ω_{norte i} τ}

$c_i(t)=1-i\sum_n\int_0^tc_n(\tau)V_{ni}(\tau)\; \mathrm e^{-i\omega_{ni}\tau}$ y tomar

c_{n} (τ) \approx c_{n} (0)

$c_n(\tau)\approx c_n(0)$ para obtener la corrección de primer orden (de la que se sigue la FGR). Este es el paso que restringe la magnitud de

t

$t$ . si tomamos

c_{n} (τ) \approx c_{n} (t)

$c_n(\tau)\approx c_n(t)$ en cambio, encontramos (después de algunas manipulaciones prolongadas)

C_{i} (t) = {mi}^{- Γ t / 2} \times una fase

$c_i(t)=\mathrm e^{-\Gamma t/2}\times \text{a phase}$ dónde

Γ \propto V_{f i}

$\Gamma\propto V_{fi}$ es el ancho de decaimiento del estado. Esta fórmula es válida para arbitrariamente grandes

t

$t$ . Expansión a primer orden (

Γ t ≪ 1

$\Gamma t\ll 1$ ), recuperamos las fórmulas habituales. Se puede encontrar una derivación (y discusión) detallada en el libro de Cohen-Tannoudji Quantum Mechanics , vol 2., página 1351, "Otro método aproximado para resolver la ecuación de Schrödinger".

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