Conservación de energía para tiempos finitos en la regla de oro de Fermi

En la derivación de la regla de oro de Fermi para la aplicación de una perturbación súbita constante, obtenemos la siguiente fórmula para la tasa:

PAG F ← i ( t ) = | ⟨ F | V | i ⟩ | 2 4 pecado 2 ⁡ ( ω F i t 2 ) ( mi F − mi i ) 2

Entonces es estándar demostrar que como t → ∞ , la función sinc se convierte en delta y se conserva la energía. Sin embargo, tengo preguntas sobre la aparente 'conservación de no energía' en tiempos finitos.

Entiendo que, dado que ha habido un cambio repentino dependiente del tiempo en el hamiltoniano, la energía no tiene por qué conservarse, pero ciertos aspectos de esto parecen desconcertantes.

  1. La función de sincronización tiene múltiples 'picos más pequeños' alrededor del pico principal. ¿Qué hace que estas otras energías sean 'favorecidas' para que el sistema salte en comparación con las otras energías?

  2. ¿Adónde va la energía inicial suministrada por la perturbación después de un tiempo infinito? ¿Tengo razón al pensar que se devuelve del sistema a la perturbación en el límite de tiempo infinito para que, después de todo, se pueda conservar la energía?

  3. ¿Hay algo diferente en la situación en la que la perturbación tiene un giro infinitamente lento proporcional a mi ϵ t . ¿Este encendido lento (no repentino) hace que las cosas sean adiabáticas y elimina parte de esta confusión de conservación de energía?

No creo que esa pregunta responda demasiado a mi pregunta, pero gracias.
no es t el tiempo durante el cual se aplica la perturbación? como puedo t → ∞ y la perturbación sea repentina también?
Debido a que la perturbación aún se enciende instantánea y abruptamente en t = 0

Respuestas (1)

Parte oculta del iceberg de la regla de oro de Fermi
Creo que parte del problema puede desaparecer, si ponemos la conservación de energía en términos más rigurosos, apropiados para hacer cálculos. Las leyes de conservación se derivan de las simetrías del espacio-tiempo y se manifiestan en la forma matemática de las ecuaciones físicas. En mecánica clásica aparecen como las primeras integrales de las ecuaciones, mientras que en mecánica cuántica como la conmutación entre las cantidades conservadas y el hamiltoniano. En este sentido, la energía del sistema como un todo siempre se conserva, a menos que el hamiltoniano sea explícitamente dependiente del tiempo.

La regla de oro de Fermi es una herramienta útil para los cálculos y se deriva fácilmente utilizando la mecánica cuántica básica, lo que da una impresión de simplicidad. Sin embargo, hay mucho de lo que está oculto debajo de la alfombra en estas derivaciones (ver, por ejemplo, esta respuesta ), generalmente en forma de suposiciones vagamente establecidas en las derivaciones. Permítanme hacer algunos puntos específicos:

  • Cuando se trata de la regla de oro de Fermi, el hamiltoniano depende explícitamente del tiempo, por lo que no se aplica la conservación de la energía.
  • El sistema de interés es solo una parte del todo; la otra parte es el campo impulsor, que se considera clásico y que puede agregar y quitar energía del sistema.
  • Hay un mecanismo de desfase implícito, que localiza el sistema en uno de los estados; este mecanismo suele aparecer en términos de la densidad finita de los estados finales (introducido ad-hoc) o tomando el límite t → + ∞
  • El desfase es lo suficientemente fuerte como para evitar transiciones. F → i , es decir, las socilaciones de Rabi .
  • Otra forma de aclarar el desfase: consideramos sólo PAG i → F ( t ) = d d t | C F ( t ) | 2 , es decir, sólo un elemento de la matriz densidad, despreciando sus términos no diagonales.

Descripción completa
La mayoría de estos problemas desaparecen si consideramos la interacción del sistema con un campo cuantificado:

  • la conservación de energía es entonces la conservación de toda la energía del sistema + campo de fotones
  • la densidad de los estados finales y la irreversibilidad de la transición aparecen como resultado de tomar el límite termodinámico: el número infinito de modos de fotones (de lo contrario, observaríamos colapso y reactivación).
  • durante cualquier tiempo final estamos tratando con la superposición de los estados del sistema y el campo de fotones, por lo que la energía del sistema por sí sola no es una integral de movimiento, y no estamos en un estado propio del sistema Hamiltonin.

Descripción de transiciones de nivel intermedio
Se logra un nivel intermedio de descripción a través de las ecuaciones de Bloch , que incluyen explícitamente los elementos de la matriz de densidad no diagonal.

Respuestas a OP
Permítanme formular cómo esto se aplica más específicamente a las preguntas formuladas en OP:

  1. PAG i → F es un objeto matemático que no se rige por la conservación de la energía (es solo un elemento de la matriz de densidad completa). La interpretación en términos de conservación de energía aparece solo después de tomar el límite t → ∞ .
  2. Si consideramos una fuerza periódica que impulsa un oscilador clásico, entonces, a menos que la fuerza esté en resonancia, durante algunas partes del ciclo acelera el oscilador, y durante otras partes del ciclo contrarresta las oscilaciones. De manera similar, el campo que impulsa un sistema de dos niveles puede agregar y quitar energía (como en las oscilaciones de Rabi ya mencionadas)
  3. El cambio adiabático facilita las derivaciones, en mi opinión. No siempre corresponde a la misma situación física, pero da el mismo resultado en el límite. t → ∞ - otro recordatorio de que la regla de oro de Fermi solo tiene sentido en este límite; no pretende describir el proceso transitorio después de activar la perturbación.
¡Gracias! No entiendo muy bien lo que quisiste decir sobre la reformulación, ¿podrías dar más detalles?
Y es su punto principal que la forma específica de los picos (por ejemplo, Sinc aquí) en el gráfico son puramente artefactos de la dependencia temporal exacta de la perturbación (por ejemplo, Sinusoidal o constante, pero solo desde t = 0) y, en última instancia, realmente no importa porque siempre serán compensados ​​exactamente con la distribución de energía del campo impulsor?
Si uno resuelve honestamente el hamiltoniano como se indica en la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, obtiene las oscilaciones interminables entre los dos niveles (oscilaciones de Rabi). Se requiere algo más de trabajo para obtener estas oscilaciones explícitamente e incluso de lo que es aproximado. FGR asume que estas oscilaciones se amortiguan muy rápidamente y el sistema se encuentra localizado en el estado excitado; requiere algún tipo de proceso termodinámico, que no está en el hamiltoniano. Es sólo bajo tal suposición que la tasa PAG i → F es significativo
Hmm, solo estoy tratando de ver exactamente la diferencia porque derivé Rabi flopping para un sistema de dos niveles solo usando el formalismo TDPT (aunque no hubo truncamiento allí, así que supongo que no fue una teoría de perturbación). ¿Es el caso de que si incluyéramos un número infinito de órdenes aquí todavía obtendríamos el fracaso de Rabi? Entonces, ¿no es que el formalismo lo excluya sino que tomar el resultado solo a primer orden (para la regla de oro de Fermis) lo hace?
Supongo que solo estoy buscando cómo se implica exactamente el 'mecanismo de desfase implícito' en las matemáticas
El formalismo es bastante general. Es una buena manera de decirlo: la regla de oro de Fermi está trancando la expansión en un cierto orden, lo que requiere bastantes suposiciones para ser físicamente correcto. En principio, uno puede trancar a órdenes superiores con resultados similares, siempre que no se sumen todos los órdenes. Por cierto, con la conmutación adiabática es muy similar a la expansión de la perturbación de la matriz de dispersión.
El mecanismo de desfase está implícito , porque no está en las matemáticas, está en la aproximación que se hace al trancar la serie, sacar el cuadrado, etc. En un cálculo más completo, por ejemplo, cuando se calcula la absorción de un átomo o un estado sólido, uno incluiría varias interacciones y haría aproximaciones en términos de fuerza y ​​tiempos característicos dictados por estas interacciones.
Bien, todo tiene sentido, ¡gracias! Último punto, ¿qué quiere decir acerca de la mayor similitud de la conmutación adiabática con la expansión de la matriz S?
Es exactamente el mismo formalismo, si se calcula perturbativamente la matriz S (serie de Born, diagramas de Feynmann, etc.). Excepto que la matriz S generalmente se deriva en un caso independiente del tiempo. Pero, si el campo electromagnético está cuantificado, es decir, uno tiene matriz S para sistema+fotones, entonces son indistinguibles.
Pero, ¿qué pasa específicamente con el modelo adiabático que lo hace equivalente al formalismo de matriz S donde falla el encendido repentino?
Supongo que mi problema era por qué el formalismo de la teoría de dispersión requiere un encendido adiabático. Pero tal vez no lo requiera, ¿es solo el caso de que la teoría de la matriz S también asume el cambio adiabático, por lo tanto, el formalismo de cambio adiabático aquí es equivalente?
La matriz S se origina en problemas de dispersión de ondas, que son esencialmente estáticos en el tiempo. La conmutación adiabática se utiliza para suponer que los estados inicial y final son soluciones del hamiltoniano en el pasado lejano y en el futuro lejano. FGR estudia la situación dinámica - la tasa de transiciones. Pero el cambio repentino también es un truco matemático, ya que siempre se toma el límite de tiempo prolongado. En tu pregunta te interesa la situación transitoria, que realmente no es el punto de la FGR.
¡Perfecto gracias!
Conservación de energía para tiempos finitos en la regla de oro de Fermi
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