Regla de oro de Fermi y densidad de estados

Question

Regla de oro de Fermi y densidad de estados

Física
mecánica cuántica
regla-de-oro-de-fermis
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos
mecánica estadística

eduardo hughes

Conozco la regla de oro de Fermi en la forma

Γ_{F i} = \sum_{F} \frac{2 π}{ℏ} d ({mi}_{F} - {mi}_{i}) | {METRO}_{F i} |^{2}

$\Gamma_{fi} ~=~ \sum_{f}\frac{2\pi}{\hbar}\delta (E_f - E_i)|M_{fi}|^2$

dónde $\Gamma_{fi}$ es la tasa de transición de probabilidad, $M_{fi}$ son los elementos de la matriz de transición.

Estoy luchando por hacer una derivación basada en la densidad de estados. Sé que bajo ciertas circunstancias es una buena aproximación para reemplazar $\sum_f$ con $\int_F \rho(E_f) \textrm{d}E_f$ para calcular la probabilidad de transición, para algún rango de energía $F$ .

Haciendo este calculo obtengo

Γ_{F i} = \int ρ ({mi}_{F}) \frac{2 π}{ℏ} d ({mi}_{F} - {mi}_{i}) | {METRO}_{F i} |^{2} d {mi}_{F} .

$\Gamma_{fi} ~=~ \int \rho(E_f) \frac{2\pi}{\hbar}\delta (E_f - E_i) |M_{fi}|^2\textrm{d}E_f.$

Ahora suponiendo que el $M_{fi}$ son constantes en el rango de energía bajo la integral que obtenemos

Γ_{F i} = ρ ({mi}_{i}) \frac{2 π}{ℏ} | {METRO}_{F i} |^{2} .

$\Gamma_{fi} ~=~ \rho(E_i) \frac{2\pi}{\hbar} |M_{fi}|^2.$

Ahora bien, esto no es absolutamente lo que está escrito en ningún otro lugar. Otras fuentes tiran de la $\rho(E_f)$ de la integral para obtener la regla de oro de Fermi de la forma

Γ_{F i} = ρ ({mi}_{F}) \frac{2 π}{ℏ} | {METRO}_{F i} |^{2}

$\Gamma_{fi} ~=~ \rho(E_f) \frac{2\pi}{\hbar} |M_{fi}|^2$

para cualquier $f$ con $E_f$ en $F$ lo que tiene mucho más sentido físico. Pero, ¿por qué está mal lo que he hecho? En todo caso, debería ser más preciso, ¡porque en realidad he hecho la integral! ¿Dónde me he perdido algo?

Motl de Luboš

es lo mismo porque

E_{i} = E_{f}

$E_i=E_f$ en este tratamiento, ¿no?

Respuestas (3)

Regla de oro de Fermi y densidad de estados

qmecanico · Answer 1

I) Bueno, OP evidentemente sabe que es la densidad $\rho_f(E_f)$ de estados finales (en lugar de iniciales ) que aparecen en la regla de oro de Fermi

\begin{matrix} (1) & Γ_{F i} = ρ_{F} ({mi}_{F}) \frac{2 π}{ℏ} | W_{F i} |^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} \Gamma_{fi} ~=~ \rho_f(E_f) \frac{2\pi}{\hbar} |W_{fi}|^2.$

Aquí adornamos la densidad $\rho_f$ con un subíndice $f$ , para aclarar ese punto, siguiendo una sugerencia de MarkWayne. En cambio, parece que la pregunta real de OP es:

Debe la energía $E_f$ [que aquí denota un promedio pertinente de estados finales que sumamos en un intervalo de energía suficientemente pequeño, y que aparece dentro $\rho_f(E_f)$ en la ec. (1)] coincide aproximadamente con la energía $E_i$ del estado inicial $i$ , ¿O no?

II) La dependencia del tiempo del potencial de interacción juega un papel crucial. $V(t)$ en el hamiltoniano

\begin{matrix} (2) & H = H_{0} + V (t) . \end{matrix}

$\tag{2} H~=~H_0+V(t).$

Por ejemplo, en la perturbación armónica [1], el potencial de interacción dice

\begin{matrix} (3) & V (t) = \sum_{\pm} W^{\pm} {mi}^{\pm i Ω t}, \end{matrix}

$\tag{3} V(t)~=~\sum_{\pm}W^{\pm} e^{\pm\mathrm{i}\Omega t},$

dónde $\Omega$ es la frecuencia angular de absorción/emisión estimulada. (Necesitamos al menos dos términos en el potencial (3) para hacer que el operador de interacción $V(t)$ Hermitian.) Uno puede mostrar que esto favorece las transiciones de la forma

\begin{matrix} (4) & {mi}_{F} \approx {mi}_{i} \pm ℏ Ω . \end{matrix}

$\tag{4} E_f~\approx~E_i\pm\hbar\Omega.$

Así que en la perturbación armónica, $\rho_f(E_f)$ y $\rho_f(E_i)$ son en general diferentes.

III) Sin embargo, en las derivaciones de la regla de oro de Fermi en muchos libros de texto elementales (que siempre usan la teoría de la perturbación dependiente del tiempo ), el término de interacción $V(t)$ a menudo se trata como independiente del tiempo (correspondiente a $\Omega=0$ ). Esto significa que el estado inicial y final en tales tratamientos independientes del tiempo deben tener aproximadamente la misma energía, cf. también un comentario de Lubos Motl.

Para obtener más información, consulte, por ejemplo, también esta respuesta de Phys.SE.

Referencias:

JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 1994, Sección 5.6.

Aprender es un desastre · Answer 2

Aprender es un desastre

Tal como lo propuso Lubos, la función delta con la que comenzaste $\delta(E_i-E_f)$ obliga al resultado final a ser invariante por $E_i \leftrightarrow E_f$ .

eduardo hughes

Me temo que no entiendo bien esto, ¿podría quizás ampliar su argumento?

Aprender es un desastre

Bueno, ¿estás familiarizado con la identidad:

d (X - X_{0}) F (X) = d (X - X_{0}) F (X_{0})

$\delta(x-x_0)f(x) = \delta(x-x_0)f(x_0)$ cierto para distribuciones, implica bastante directamente que puede cambiar

ρ (E_{f})

$\rho(E_f)$ para

ρ (E_{i})

$\rho(E_i)$ en tu segunda ecuación.

eduardo hughes

Oh, por supuesto, disculpas por perder eso. Pero seguramente en general

ρ (E_{i})

$\rho(E_i)$ y

ρ (E_{f})

$\rho(E_f)$ son diferentes aunque

E_{i} = E_{f}

$E_i = E_f$ ? Por ejemplo, la descomposición de una partícula en dos le da un grado adicional de libertad en

ρ (E_{f})

$\rho(E_f)$ que no tenias en

ρ (E_{i})

$\rho(E_i)$ . ¿O esta lógica es incorrecta?

Motl de Luboš

Estimado Edward, estás sumando o integrando

f

$f$ y el integrando depende de

M_{f i}

$M_{fi}$ y decidió que puede eliminar la suma/integral por completo. Esto implica implícitamente que para cada energía

E_{f}

$E_f$ , el estado debe ser realmente único. De lo contrario, tendrías que mantener la suma sobre los otros números cuánticos que conmutan con la energía.

Motl de Luboš

De lo contrario, Edward, es difícil entender por qué piensas eso.

ρ (E_{i})

$\rho(E_i)$ puede ser diferente de

ρ (E_{f})

$\rho(E_f)$ si

E_{i} = E_{f}

$E_i=E_f$ . Si el argumento de una función,

ρ

$\rho$ en este caso, es el mismo, el valor de la función también es el mismo, ¿no? Tenga en cuenta que no estamos implicando

i = f

$i=f$ : este no es el caso porque el estado

| i ⟩

$|i\rangle$ no es una función de

E_{i}

$E_i$ . Pero las cosas explícitamente escritas para ser funciones son funciones.

MarkWayne

Creo que el punto de confusión aquí es que

ρ (E)

$\rho(E)$ es la densidad de estados finales . Quizás la notación sería más clara si

ρ_{f} (E)

$\rho_f(E)$ fueron escritos en su lugar. Ahora debe quedar claro que dado que la energía se conserva

ρ_{f} (E_{f}) = ρ_{f} (E_{i})

$\rho_f(E_f)=\rho_f(E_i)$ . Tenga en cuenta que la densidad de los estados iniciales, que podría escribir como

ρ_{i} (E)

$\rho_i(E)$ no es igual a

ρ_{f} (E)

$\rho_f(E)$ , como parece sugerir su comentario, "Pero seguramente...".

eduardo hughes

@MarkWayne: eso tiene mucho sentido. Estaba pensando eso

ρ (E_{i})

$\rho(E_i)$ fue la densidad de estados iniciales. De hecho no lo es. Es la densidad de estados finales en energía.

E_{i}

$E_i$ ! Entonces

ρ (E_{i}) = ρ (E_{f})

$\rho(E_i)=\rho(E_f)$ tiene perfecto sentido, y no hay diferencia entre las dos fórmulas que he escrito en la pregunta. ¿Es ese un resumen justo? ¡Muchas gracias por su ayuda, a todos!

nerviosxxx

@MarkWayne Estoy aún más confundido por lo que crees que estaba confundiendo a Edward. ¿Por qué dices que puede haber subíndices?

i

$i$ y

f

$f$ para la densidad de estados

ρ

$\rho$ ? Al derivar FGR tratamos el hamiltoniano imperturbable

H

$H$ como pieza dominante, que tiene asociada una densidad de estados

ρ (E)

$\rho(E)$ . Por lo tanto, solo hay UNA densidad de estados siempre, y es una función de

E

$E$ medido por

H

$H$ . Así que para mí no tiene sentido poner un

i

$i$ o

f

$f$ como subíndices en

ρ

$\rho$ decir que hay dos funciones

ρ_{i} (E)

$\rho_i(E)$ y

ρ_{f} (E)

$\rho_f(E)$ . ¡No hay dos hamiltonianos 'imperturbables'! ¿O me estoy perdiendo algo?

MarkWayne

Hola @nervxxx: claro, puedes escribir la densidad de estados como un operador

ρ (E) = π δ (E - H_{0})

$\rho(E) = \pi \delta(E-H_0)$ (hasta factores dependientes de normalización), diagonal en base a estados asintóticos. La discusión aquí permite la posibilidad de que haya diferentes partículas en los estados inicial y final.

Jiang Min Zhang · Answer 3

Si bien las respuestas anteriores ya respondieron a su pregunta, me gustaría recomendar un artículo por mí mismo: Dinámicas no uniformes y resueltas en niveles ilustradas con un modelo de enlace estricto impulsado periódicamente .

En este artículo, derivamos la regla de oro de Fermi como subproducto. Nuestra derivación no utiliza la función delta.

Creo que nuestra derivación es mucho más simple y más transparente que las de los libros de texto. Es solo una propiedad matemática de la función sinc .

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