Regla de oro de Fermi

La teoría de la perturbación dependiente del tiempo de primer orden nos dice que bajo la influencia de una perturbación$Ve^{i\omega t}$, un sistema que se inició en el estado$|n\rangle$en el momento$t=0$tiene probabilidad

$$P_k(t)=4|\langle k|V|n\rangle|^2\frac{\sin^2[\frac{(E_n-E_k-\hbar\omega)t}{2\hbar}]}{(E_n-E_k-\hbar\omega)^2}$$ de transición al estado $|k\rangle$.

Podemos imaginar querer saber la probabilidad de transición a un conjunto de energías en tiempos prolongados. Para encontrar esto, multiplicamos la probabilidad anterior por la densidad de estados, integramos sobre todas las energías y usamos el límite de tiempo grande (que, dicho sea de paso, nos dice que todas las transiciones deben reducirse por$\hbar\omega$) para encontrar que la probabilidad de hacer la transición hacia abajo por una energía$\hbar\omega$por unidad de tiempo es

$$\frac{2\pi t}{\hbar}g(E_{out})|\langle out|V|n\rangle|^2$$ dónde $|out\rangle$se refiere a los estados finales permitidos, con energía $\hbar\omega$menos.

Tengo problemas para entender exactamente lo que esto significa. Dije que quería encontrar 'la probabilidad de hacer la transición a un conjunto de energías' pero mi expresión final tiene un estado final, a saber$|out\rangle$. Entonces, ¿he encontrado realmente la probabilidad de hacer la transición a un conjunto de energías, o simplemente el estado$|out\rangle$(que todas las fuentes que estoy leyendo sugieren que es el caso)? Si es lo segundo, ¿por qué sucedió esto (las matemáticas que mencioné parecen estar orientadas hacia lo primero), y por qué no pude simplemente tomar el gran$t$límite en la expresión$P_k(t)$?