Función Dirac-delta en Derivación de la regla de oro de Fermi

Question

Función Dirac-delta en Derivación de la regla de oro de Fermi

energía
Física
mecánica cuántica
regla-de-oro-de-fermis
teoría de la perturbación
distribuciones-dirac-delta

andri jauhari

Estaba siguiendo Modern Particle Physics de Mark Thomson, y me quedé atascado en la derivación de este libro de la regla de oro de Fermi (en la página 53):

"... Si hay d $n$ estados finales accesibles en el rango de energía $E_f \rightarrow E_f +dE_f$ , entonces la tasa de transición total $\Gamma_{fi}$ es dado por
$\begin{matrix} (A) & Γ_{F i} = 2 π \int | T_{F i} |^{2} \frac{d norte}{d {mi}_{F}} \underset{T \to \infty}{límite} {\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{- \frac{T}{2}} {mi}^{i ({mi}_{F} - {mi}_{i}) t} d ({mi}_{F} - {mi}_{i}) d t} d {mi}_{F} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \Gamma_{fi} = 2\pi \int|T_{fi}|^2 \frac{dn}{dE_f} \lim_{T\rightarrow \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} e^{i(E_f - E_i)t} \delta(E_f-E_i) dt \right\}dE_f \tag{A}. \end{equation}$ La función delta en la integral implica que $E_f=E_i$ y por lo tanto $(\text{A})$ puede ser escrito $\begin{matrix} (B) & Γ_{F i} = 2 π \int | T_{F i} |^{2} \frac{d norte}{d {mi}_{F}} d ({mi}_{F} - {mi}_{i}) \underset{T \to \infty}{límite} {\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{- \frac{T}{2}} d t} d {mi}_{F} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \Gamma_{fi} = 2\pi \int|T_{fi}|^2 \frac{dn}{dE_f} \delta(E_f-E_i) \lim_{T\rightarrow \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} dt \right\}dE_f \tag{B}. \end{equation}$ ... (etcétera) "

Basado en la explicación entre los pasos, no entiendo por qué $E_f$ y $E_i$ debería ser el mismo. yo se que para $E_f$ ser igual que $E_i$ , se supone que las funciones delta de Dirac están integradas con el exponente, pero no es así. Cualquier explicación para esto sería apreciada.

Nihar Karvé

¿Estás preguntando por qué?

E_{f}

$E_f$ se establece igual a

E_{i}

$E_i$ en el

t

$t$ -integral, a pesar de no estar integrado encima?

andri jauhari

@NiharKarve sí, eso es lo que me pregunto

qmecanico

FWIW, la regla de oro de Fermi se deriva de mi respuesta Phys.SE aquí .

Respuestas (2)

Función Dirac-delta en Derivación de la regla de oro de Fermi

¿Estás preguntando por qué? $E_f$ se establece igual a $E_i$ en el $t$ -integral, a pesar de no estar integrado encima?
FWIW, la regla de oro de Fermi se deriva de mi respuesta Phys.SE aquí .

por simetría · Answer 1

Esto es solo una aplicación de la regla.

\begin{aligned} \int d X F (X) gramo (X) d (X - y) = F (y) gramo (y) & = F (y) \int d X gramo (X) d (X - y) \\ = \int d X F (y) gramo (X) d (X - y) \end{aligned}

$\begin{align} \int dx\;f(x)g(x) \delta(x-y) = f(y)g(y) &= f(y)\int dx\; g(x)\delta(x-y)\\ &= \int dx\; f(y)g(x) \delta(x-y) \end{align}$ donde hemos usado la definición de la función delta. Intuitivamente, el delta de Dirac es cero excepto donde su argumento desaparece, por lo que el valor

f

$f$ solo importa en ese punto, por lo que podemos hacer la sustitución y obtener la misma respuesta.

Aquí $f$ es la función aparentemente complicada

F ({mi}_{F}) = \underset{T \to \infty}{límite} \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} d t {mi}^{i ({mi}_{F} - {mi}_{i}) t}

$f(E_f) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} dt \;e^{\imath (E_f-E_i) t}$ y

gramo ({mi}_{F}) = | T_{i F} |^{2} \frac{d norte}{d {mi}_{F}}

$g(E_f) = |T_{if}|^2 \frac{d n}{dE_f}$

Solo quiero asegurarme, ¿quieres decir? $f(E_f)$ , $g(E_f)$ , y $E_f-E_i$ en la parte exponente en $f(E)$ ?

PrawwarP · Answer 2

Creo que esto se puede resolver rápidamente con una referencia a la página de wikipedia en el delta de dirac:

Enfoque 1) a medida que T tiende al infinito, la integral se convierte en delta de la diferencia de energía, por lo que puede haber un cuadrado de dirac deltas que es lo mismo que un dirac delta. Sin embargo, no estoy seguro de por qué la división por T puede absorberse en el delta de dirac... Como se comenta a continuación, esto no es físicamente razonable.

Enfoque 2): la respuesta es más fácil que la posibilidad 1: la definición del delta de Dirac significa que el argumento, aquí $E_i-E_f$ , es cero. Esto se utiliza para establecer el argumento de la exponencial a cero.

El enfoque 2 parece ser el que se usó aquí. Revisar la página de wikipedia en el delta de Dirac podría ayudarlo a comprender por qué es así.

El cuadrado de los deltas está mal definido. Pero podría ser que el primer delta no debería estar allí y luego aparece como consecuencia de las matemáticas como explicaste.
Si bien estoy de acuerdo en que el cuadrado de los deltas está mal definido, creo que la mayoría de los físicos simplemente elevarían al cuadrado la definición que involucra infinito si el argumento es 0 y 0 de lo contrario elevando al cuadrado los componentes en esta definición definida por partes. En ese caso, hay una buena posibilidad de que el autor (como miembro de "la mayoría de los físicos") use que el cuadrado de un delta de dirac es el mismo delta de dirac. Como tal, hice tal suposición en mi respuesta.
Sé que a los físicos siempre les gusta ser matemáticamente descuidados (después de todo, yo también lo soy), pero este no es uno de esos casos. Un delta de dirac al cuadrado significa casi con certeza que ha habido un error en el cálculo, ya que implicaría un resultado físicamente infinito. Escrito en estilo físico: $\int dx \delta(x) \delta(x) = \delta(0) = \infty$ .
@PrawwarP Muchas gracias, el Enfoque 2 es lo que estoy tratando de convencerme a mí mismo. Me encantaría votar tu respuesta, pero todavía soy nuevo aquí, así que no puedo.

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