Función de densidad de probabilidad del ruido gaussiano

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Función de densidad de probabilidad del ruido gaussiano

Matemáticas
probabilidad
función de densidad
teoría de probabilidad
integrales estocásticas
procesos estocásticos

Tomás Jorovic

Me pregunto si se puede definir una función de densidad de probabilidad en un proceso estocástico. He estado buscando, pero lo que he visto hasta ahora son solo distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico. Lo que me interesa es otra cosa: ¿se puede definir una función de densidad de probabilidad en un espacio de dimensión infinita, como las muestras de un proceso estocástico?

Hasta hace poco, me encontré con un documento que dice que si $\eta(t)$ es un proceso de ruido gaussiano (es decir, ruido blanco) tal que $E[\eta(t)] = 0$ y $E[\eta(t) \eta(t')] = D \delta(t-t')$ entonces la densidad de probabilidad "formal" para este proceso está dada por

$P(\eta(t)) \propto \exp(-\frac{1}{2D} \int_{t_i}^{t_f} \eta^2 \,dt)$ para puntos de tiempo $t_i,t_f$ .

No puedo encontrar una referencia para esto y no estoy seguro si los autores citaron "Mecánica cuántica e integrales de ruta" de Feynman y Hibbs porque la cita de referencia parecía aludir a una declaración anterior.

En cualquier caso, parece que esta función de densidad fue formulada por físicos. ¿Alguien puede dirigirme a artículos matemáticos que discutan este concepto y cómo darle sentido, algo más riguroso?

hierba steinberg

Tu pregunta es un poco confusa. ¿Qué es una función de densidad "formal"? El espectro (transformada de la covarianza) de este proceso es constante. En su nota, ¿cuál es la definición de

P (η (t))

$P(\eta (t))$ ?

Tomás Jorovic

Así es como el artículo define la función de densidad de probabilidad del ruido blanco. En otras palabras, dada una observación del ruido blanco

η (\cdot, ω)

$\eta(\cdot,\omega)$ para

ω \in Ω

$\omega \in \Omega$ , la "probabilidad" de esta observación se calcula mediante la fórmula anterior. asi lo interpreto yo

hierba steinberg

encyclopediaofmath.org/index.php/White_noise_analysis encyclopediaofmath.org/index.php/White_noise Estos podrían ayudar a aclarar. Mi trabajo con el ruido blanco siempre ha sido matemático.

hierba steinberg

La formula

P (η (t)) =

$P(\eta (t))=$ es raro para mi

η (t)

$\eta (t)$ es un elemento de un proceso estocástico.

P (η (t))

$P(\eta (t))$ es un número, pero el lado derecho contiene la integral de un proceso estocástico, por lo que no es un número.

Tomás Jorovic

Sé que es extraño, supongo que estos provienen de la física, por lo que estoy buscando una teoría más rigurosa sobre esto. El lado derecho, para una muestra fija de un proceso estocástico, es un número, así que no veo qué es inconsistente

hierba steinberg

Su notación todavía no se ve bien. En el lado derecho tiene una muestra fija para

η (t)

$\eta(t)$ - ¿Qué muestra? En el lado izquierdo tienes

P (η (t))

$P(\eta (t))$ , que en sí mismo no está bien definido, ya que

η (t)

$\eta (t)$ no es discreto, tan intrínsecamente

P (η (t)) = 0

$P(\eta (t))=0$ . Tienes que aclarar lo que quieres decir.

Tomás Jorovic

DE ACUERDO. El lado izquierdo es el PDF, no la probabilidad de que

η (t, ω) = η^{*} (t)

$\eta(t,\omega) = \eta^*(t)$ para alguna funcion

η^{*} (t)

$\eta^*(t)$ . El lado derecho tendría

η (t)

$\eta(t)$ reemplazado por

η^{*} (t)

$\eta^*(t)$ que ahora es una función determinista. ¿Esto todavía no está claro?

hierba steinberg

La notación ahora es clara. Necesitas explicar la relación entre

t

$t$ en

P (η (t))

$P(\eta (t))$ y

t_{f}

$t_f$ y

t_{i}

$t_i$ . También

η^{*} (t)

$\eta ^*(t)$ necesita ser definido.

hierba steinberg

Definición

P (η (t))

$P(\eta (t))$ como usted tiene sigue siendo muy confuso. Si

η (t)

$\eta (t)$ es un proceso de ruido gaussiano, entonces su PDF es el gaussiano habitual (

\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}}

$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ ) y las preguntas principales implican correlación o espectro.

Lucozade

Estoy de acuerdo en que la notación es un poco extraña. Como mínimo, el límite superior en la integral quizás debería ser

t

$t$ (variable) en lugar de

t_{f}

$t_f$ (valor), de modo que ambos lados son funciones de

t

$t$ . Además, la P mayúscula generalmente se reserva para la probabilidad (a diferencia de la densidad de probabilidad).

p

$p$ ), así que lo reemplazaría con

p

$p$ . Entonces

p (η (t))

$p(\eta(t))$ es la densidad de probabilidad de la variable

η

$\eta$ en el momento

t

$t$ .

Respuestas (1)

Función de densidad de probabilidad del ruido gaussiano

Tu pregunta es un poco confusa. ¿Qué es una función de densidad "formal"? El espectro (transformada de la covarianza) de este proceso es constante. En su nota, ¿cuál es la definición de $P(\eta (t))$ ?
Así es como el artículo define la función de densidad de probabilidad del ruido blanco. En otras palabras, dada una observación del ruido blanco $\eta(\cdot,\omega)$ para $\omega \in \Omega$ , la "probabilidad" de esta observación se calcula mediante la fórmula anterior. asi lo interpreto yo
encyclopediaofmath.org/index.php/White_noise_analysis encyclopediaofmath.org/index.php/White_noise Estos podrían ayudar a aclarar. Mi trabajo con el ruido blanco siempre ha sido matemático.
La formula $P(\eta (t))=$ es raro para mi $\eta (t)$ es un elemento de un proceso estocástico. $P(\eta (t))$ es un número, pero el lado derecho contiene la integral de un proceso estocástico, por lo que no es un número.
Sé que es extraño, supongo que estos provienen de la física, por lo que estoy buscando una teoría más rigurosa sobre esto. El lado derecho, para una muestra fija de un proceso estocástico, es un número, así que no veo qué es inconsistente
Su notación todavía no se ve bien. En el lado derecho tiene una muestra fija para $\eta(t)$ - ¿Qué muestra? En el lado izquierdo tienes $P(\eta (t))$ , que en sí mismo no está bien definido, ya que $\eta (t)$ no es discreto, tan intrínsecamente $P(\eta (t))=0$ . Tienes que aclarar lo que quieres decir.
DE ACUERDO. El lado izquierdo es el PDF, no la probabilidad de que $\eta(t,\omega) = \eta^*(t)$ para alguna funcion $\eta^*(t)$ . El lado derecho tendría $\eta(t)$ reemplazado por $\eta^*(t)$ que ahora es una función determinista. ¿Esto todavía no está claro?
La notación ahora es clara. Necesitas explicar la relación entre $t$ en $P(\eta (t))$ y $t_f$ y $t_i$ . También $\eta ^*(t)$ necesita ser definido.
Definición $P(\eta (t))$ como usted tiene sigue siendo muy confuso. Si $\eta (t)$ es un proceso de ruido gaussiano, entonces su PDF es el gaussiano habitual ( $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ ) y las preguntas principales implican correlación o espectro.
Estoy de acuerdo en que la notación es un poco extraña. Como mínimo, el límite superior en la integral quizás debería ser $t$ (variable) en lugar de $t_f$ (valor), de modo que ambos lados son funciones de $t$ . Además, la P mayúscula generalmente se reserva para la probabilidad (a diferencia de la densidad de probabilidad). $p$ ), así que lo reemplazaría con $p$ . Entonces $p(\eta(t))$ es la densidad de probabilidad de la variable $\eta$ en el momento $t$ .

Lucozade · Answer 1

Dejando a un lado la notación en la expresión dada, aquí hay un intento de interpretarla en relación con las distribuciones de dimensión infinita, como se mencionó en su primer párrafo.

Las gaussianas (reales) con la media independiente del tiempo dada y la covarianza correlacionada delta definen un proceso estacionario, es decir, independiente de $t_i$ . Para cualquier par $(t_i,t_j)$ , las dos variables gaussianas asociadas $\eta_i=\eta(t_i)$ y $\eta_j\equiv\eta(t_j)$ no están correlacionadas rv Por lo tanto, siendo gaussianas, son mutuamente independientes, por lo que su densidad de probabilidad bidimensional conjunta es su producto

pag (η_{i}, η_{j}; t_{i}, t_{j}) \propto Exp (- \frac{η_{1}^{2}}{2 σ_{1}^{2}}) \cdot Exp (- \frac{η_{2}^{2}}{2 σ_{2}^{2}}) = Exp (- \frac{η_{1}^{2} + η_{2}^{2}}{2 D})

$\begin{equation} p(\eta_i,\eta_j;t_i,t_j) \propto \exp \left ( -\frac{\eta^2_1}{2\sigma^2_1} \right ) \cdot \exp \left ( - \frac{\eta^2_2}{2\sigma^2_2} \right ) = \exp \left ( -\frac{\eta^2_1+\eta^2_2}{2D} \right ) \end{equation}$ con

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} = E (η_{1}^{2}) = E (η_{2}^{2}) = D

$\sigma^2_1=\sigma^2_2 = E(\eta^2_1)=E(\eta^2_2) = D$ (tomando

t = t^{'}

$t=t^\prime$ arriba) porque

E (η_{1}) = E (η_{2}) = 0

$E(\eta_1)=E(\eta_2)=0$ . Repitiendo y extendiendo esto para

3, 4, \dots, n < \infty

$3, 4, \ldots, n < \infty$ puntos de tiempo, uno obtiene un (finito)

n

$n$ -jerarquía dimensional de

n

$n$ Funciones de densidad gaussianas conjuntas -dimensionales. para continuo

t

$t$ , uno puede dejar

n

$n$ acercarse al infinito, produciendo así una pdf conjunta de dimensión infinita (es decir, para todos los infinitos incontables

t

$t$ dentro

[t_{i}, t_{f}]

$[t_i,t_f]$ o

[- \infty, + \infty]

$[-\infty,+\infty]$ ) y por lo tanto un proceso estocástico como un funcional de probabilidad en

t

$t$ . En general, esto requiere todos los 2-, 3-, ...,

n

$n$ -Correlaciones puntuales que deben especificarse y conocerse (una seria dificultad en la práctica). Para gaussianos reales, solo las correlaciones de dos puntos son necesarias y suficientes para definir el proceso por completo.

Volviendo a la fórmula en su publicación, ya que todos $\eta_i$ no están correlacionados sin importar cuán pequeñas sean las distancias mutuas $|t_i-t_j|$ , uno puede llevarlos arbitrariamente cerca. De este modo, $\eta^2_1+\eta^2_2+\ldots + \eta^2_n$ en el numerador de la exponencial (en la extensión de la expresión anterior a $n$ dimensiones) se aproxima a una suma de Riemann y se convierte en una integral sobre $t$ al considerar todos los puntos $t$ en un intervalo dado $[t_i,t_f]$ .

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Lucozade

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No entiendo esta parte específica del libro de texto sobre unión contable en el libro de teoría de probabilidad [cerrado]