Dominio integral sin elementos primos que no es un campo

Tome el anillo de la serie de poder$R=k[[X,X^{1/2},X^{1/3},\ldots]]$.

Si$f\in R$no es invertible, entonces$f = uX^{1/n}$por alguna unidad$u$y entero positivo$n$. Pero$X^{1/n}$no es primo, entonces$f$no es primo.

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Para un ejemplo noetheriano, tome el anillo$k[[X^2,X^3]]$, o$k[X^2,X^3]_{(X^2,X^3)}$.

Más generalmente, si$C$es una curva irreducible con$y\in C$, entonces el anillo local$R=\mathcal{O}_{C,y}$será un dominio noetheriano con un único ideal primo distinto de cero$P$. Si$y$es una singularidad, entonces$P$no será rector.

Otro (tipo de) ejemplo natural proviene de la$p$-mundo ádico : Considere, por ejemplo,$\mathbb C_p$, la realización de un cierre algebraico de$\mathbb Q_p$. El$p$-valor absoluto ádico$\lvert \cdot \rvert_p$se extiende únicamente a este campo, y los elementos de valor$\le 1$forman un anillo generalmente llamado$\mathcal{O}_{\mathbb C_p}$.

Este anillo es local con un ideal máximo único.$m = \{x \in \mathcal{O}_{\mathbb C_p} : \lvert x \rvert_p < 1 \}$que no es finitamente generado. El único otro ideal principal de este anillo es$(0)$.

En términos más generales, esto es válido para cualquier anillo de valoración cuyo grupo de valor sea de rango$1$y denso en$\mathbb R$. Por ejemplo, uno puede tomar el anillo de valoración de cualquier cierre algebraico de$\mathbb Q_p$; o de la extensión de$\mathbb Q_p$Por todos$p$-raíces de poder de la unidad$\mathbb Q_p(\zeta_{p^\infty})$.