El subanillo de un anillo conmutativo con unidad implica que el anillo es un dominio integral

Dejar R Sea un anillo conmutativo con la unidad. Si un subanillo S de R es un dominio integral que contiene la unidad de R (eso no es { 0 , 1 } ), ¿significa esto que R es también un dominio integral? Traté de encontrar un contraejemplo pero no encontré ninguno:

Supuse que tal vez el subanillo de Z 10 , ( 2 ) , funcionaría ya que pensé que sería isomorfo a Z 5 (y, por lo tanto, un dominio integral), pero luego me di cuenta de que no tiene identidad multiplicativa, por lo que es un no.

Cualquier ayuda sería apreciada.

@AtticusStonestrom esto no contiene la unidad de Z × Z . En su lugar, podría mirar la diagonal interior Z × Z .
@Dave ups, ¡por supuesto que tienes razón! estoy corriendo en v poco de sueño lolol
@AtticusStonestrom no hay problema, su ejemplo es esencialmente correcto: desea ver una copia de Z adentro Z × Z ; es solo un pequeño detalle.
En sí mismo el ideal de Z / 10 Z generada por la clase de 2 (que es lo que creo que quisiste decir ser " ( 2 ) "), equipado con las operaciones aritméticas restringidas, tiene una identidad multiplicativa, a saber, la clase de 6 . No obstante, no es un subanillo según la mayoría de los textos, ya que (para ellos) por definición un subanillo (unitario) debe compartir su identidad multiplicativa con el anillo que lo contiene.
Cada álgebra sobre un campo contiene una copia de ese campo... pero no todos son dominios...

Respuestas (2)

Otra buena clase de anillos para ejemplos son los anillos de polinomios y sus cocientes. Para este problema, considere el subanillo C adentro C [ X ] / ⟨ X 2 ⟩ .

Impresionante conjunto de ejemplos, gracias.

Si la implicación de su título fuera cierta, sería imposible extender un dominio integral con divisores cero. Pero eso claramente es posible. por ejemplo en Z [ X ] si PAG , q son polinomios no constantes, sus imágenes en Z [ X ] / ( PAG q ) serán divisores de cero, pero el anillo del cociente todavía contiene (la imagen isomorfa de) el dominio integral   Z . Así que no, la implicación no se sostiene.

El subanillo de un anillo conmutativo con unidad implica que el anillo es un dominio integral
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v