Amplitudes de transición

Los operadores en la imagen de interacción siguen la ecuación libre de movimiento. Por lo tanto, podemos expresar el campo en$V_I(t)$(Dejaré el índice ahora) en términos de operadores de creación y aniquilación del QHO gratuito, es decir

$$\begin{equation} V(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{2m}} \left( a(t) + a^{\dagger}(t) \right). \end{equation}$$ El estado inicial de n excitaciones es $$\begin{equation} \vert n \rangle = \frac{\left(a^\dagger\right)^n}{\sqrt{n!}}\vert 0 \rangle. \end{equation}$$ Según entiendo su pregunta, el estado inicial se prepara antes de que comience la conducción, es decir, es$a$aquí también hay un operador de imagen de interacción pero a la vez$-\infty$. Entonces tu expresión se vuelve $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{n!}} \sum_{\alpha = 0}^{\infty} \frac{(-i)^\alpha}{\alpha!(2m)^{\alpha/2}} \int \textrm{d}t_1 ... \int \textrm{d}t_\alpha f(t_1)...f(t_\alpha) \langle 0 \vert T \left\{ \left( a(t_1) + a^{\dagger}(t_1) \right) ... \left( a(t_\alpha) + a^{\dagger}(t_\alpha) \right) \left(a^\dagger (-\infty)\right)^n \right\} \vert 0 \rangle, \end{equation}$$ donde llevé los operadores de creación en el pasado infinito al orden del tiempo. El truco es darse cuenta de que solo sobreviven los términos que tienen el mismo número de operadores de creación y aniquilación (la evolución temporal en la imagen de interacción conserva el número de excitaciones). Al orden más bajo en$f$, esto da corresponde a$\alpha = n$y por lo tanto $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{(-i)^n}{n!(2m)^{n/2}} \int \textrm{d}t_1 ... \int \textrm{d}t_n f(t_1)...f(t_n) \langle 0 \vert T \left\{ a(t_1) ... a(t_n) \left(a^\dagger (-\infty)\right)^n \right\} \rangle . \end{equation}$$ Por el teorema de Wick, la expresión en la integral es simplemente$n!$copias del mismo diagrama, es decir $$\begin{equation} \frac{(-i)^n}{\sqrt{n!}(2m)^{n/2}} \lim_{t'\to-\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \textrm{d}t\ f(t)\ G_0 (t - t') \right]^n, \end{equation}$$ dónde$G_0 (t - t')$es el propagador ordenado en tiempo libre de la teoría.