Cálculo de la amplitud de transición

La amplitud es igual a la siguiente integral de trayectoria

$$\int Dq(\tau)\int \frac{Dp(\tau)}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\right]$$ dónde $$\tilde{L}=p\dot{q}-\frac{p^2(\tau)}{2f(q(\tau))}$$ que no es el lagrangiano porque $p$no está relacionado con $q$y $\dot{q}$. La integral sobre $p$se puede realizar fácilmente porque es una integral gaussiana: $$\int\frac{Dp}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\int^{t_f}_{t_i}d\tau^\prime \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\delta(\tau-\tau^\prime)\right] \\=N\frac{1}{\sqrt{detA}}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\tilde{L}[q(\tau),\tilde{p}(\tau)]\right]$$ dónde $\tilde{p}$es el punto estacionario que satisface la ecuación canónica $$\dot{q}=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{p=\tilde{p}}$$ y ahora $\tilde{L}$puede ser reemplazado por el lagrangiano $L$y solo necesitamos hacer la integral de trayectoria sobre $q(\tau)$; y la matriz $A$es $$A_{\tau,\tau^\prime}=\frac{\delta(\tau-\tau^\prime)}{f(q(\tau))}$$ cuyo determinante se puede expresar como $$detA=e^{trlnA}=exp\left(tr[-\delta(\tau-\tau^\prime)lnf(q(\tau))]\right)\\ =exp\left[-\delta(0)\int d\tau lnf(q(\tau))\right]$$ que puede considerarse como una modificación del lagrangiano.