Evolución del oscilador armónico en la formulación integral de trayectoria

Question

Evolución del oscilador armónico en la formulación integral de trayectoria

Física
integral de trayectoria
rotación de mecha
mecánica cuántica
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

usuario111187

El estado fundamental no normalizado del oscilador armónico (seleccionando unidades tales que $m = \hbar = \omega = 1)$ es

\begin{matrix} (1) & ψ (q, t) = Exp (- q^{2} / 2 - i t / 2) . \end{matrix}

$\tag{1}\psi(q,t) = \exp(-q^2/2-it/2).$

La función de transición es

\begin{matrix} (2) & W (q_{2}, t_{2}, q_{1}, t_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π i S}} Exp [\frac{i}{2 S} ((q_{1}^{2} + q_{2}^{2}) C - 2 q_{1} q_{2})], \end{matrix}

$\tag{2}W(q_2,t_2,q_1,t_1) = \dfrac{ 1}{ \sqrt{2\pi i S} }\exp \left[ \dfrac{i}{2S}\left((q_1^2 + q_2^2)C - 2q_1 q_2 \right) \right],$ dónde

S = \sin (t_{2} - t_{1})

$S = \sin(t_2 - t_1)$ y

C = \cos (t_{2} - t_{1})

$C = \cos(t_2 - t_1)$ .

A partir de consideraciones generales, deberíamos tener

\begin{matrix} (3) & ψ (t_{2}, q_{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} d q_{1} W (q_{2}, t_{2}, q_{1}, t_{1}) ψ (t_{1}, q_{1}) . \end{matrix}

$\tag{3}\psi(t_2,q_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\! dq_1\, W(q_2,t_2,q_1,t_1)\psi(t_1,q_1).$

¿Podemos mostrar esto también calculando la integral explícitamente para el estado dado? Mis intentos en esto han fallado; en particular, nunca obtengo la dependencia temporal correcta $\propto \exp(-it_2/2)$ en el resultado final.

Respuestas (1)

Evolución del oscilador armónico en la formulación integral de trayectoria

qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

El ejercicio de OP es esencialmente una cuestión de verificar una integral gaussiana oscilatoria (3) sobre la posición inicial $q_1$ .
Dejar $\Delta t_M:=t_2-t_1>0$ . Para hacer que la integral de Gauss sea convergente, inserte la ecuación de Feynman $i\epsilon$ prescripción $\Delta t_M\to\Delta t_M-i\epsilon$ . O de manera equivalente, Wick-rotate $\Delta t_E:=i\Delta t_M$ , dónde ${\rm Re}(\Delta t_E)>0$ . Aquí las letras $M$ y $E$ significa Minkowski y Euclid, respectivamente.
Tenga en cuenta que $iS:=i\sin\Delta t_M=\sinh\Delta t_E$ y $C:=\cos\Delta t_M=\cosh\Delta t_E$ .
Realizar la integral gaussiana convergente (3) sobre la variable real $q_1$ .
Después de la integración gaussiana, el nuevo factor de raíz cuadrada $\dfrac{ 1}{ \sqrt{(C+i S}) }$ dará lo buscado $t_2$ dependencia.

Comentario a la respuesta (v4): La respuesta asume implícitamente que no hemos pasado el primer punto cáustico/de inflexión $\Delta t_M < \pi$ .

Evolución del oscilador armónico en la formulación integral de trayectoria

usuario111187

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qmecanico

qmecanico

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Amplitudes de transición

Computación ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\rango

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